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Mathématiques 1 2003 Classe Prepa TSI Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI)

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Concours du Supérieur Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI). Sujet de Mathématiques 1 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1 2003 sur Bankexam.fr.
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE FILIÈRE TSI – SESSION 2003 ______________________ MATHÉMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. NB. :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Les cinq parties du problème sont indépendantes αdésignant un réel non nul, on notefαla fonction définie surRparfα(x) = cos(αx). PARTIE I 1. Montrerquon peut se limiter àα>0 (ce quon fera dans toute la suite du problème). 2. Vérifierquefαest périodique ; on noteraTαune période strictement positive. 3. Dequelle équation différentielle linéaire, du second ordre, à coefficients réels constants, homogène,fαest-elle solution ? Résoudre cette équation différentielle. 4. Onnote respectivement E et d la partie entière et la partie décimale deα. Cest-à-direα= E + d, avec E entier naturel et 0d<1. Déterminer en fonction de E et d le nombre de solutions dans [0,π] defα(x) = 0. PARTIE II On posefα,β= fα+ fβ,αetβsont des réels strictement positifs distincts. 1. Montrerquefα,βest périodique si et seulement si il existe deux entiers naturels non nuls k et p tels que : kα= pβ(on pourra envisager x = 0). On noteraTα,βune période defα,β.2. RelieralorsTα,βàTαetTβ.3.αetβétant à nouveau quelconques (mais toujours réels strictement positifs distincts), montrer 2 22 '' la relation :fα,β+αfα,β= (α-β) fβ. (4) 22 22 4. Endéduire quefα,βest solution de léquation (E) : y+ (α+β)y''+α βy = 0. '' 5. Vérifierquefαest solution de (E). En déduire quefβ,fα,également solutions de (E).f sont β
6. Enadmettant que lensemble des solutions de (E) est un espace vectoriel de dimension 4, ' ' montrer que la famille (fα, fβ,fα,f )en constitue une base. β PARTIE III On sintéresse àf1, que pour simplifier on note f. ,1 2 1. Montrerque [0,2π] est un intervalle suffisant à létude de f. 2. Etudierles variations de f sur [0,2π] ; (on notera x0le point de ]0,2π[ où0).f ' (x) = 3. Déterminerf(x0).4. Discutersuivant c le nombre de solutions dans [0,2π] de léquation f(x) = c. 5. Préciserles solutions dans les cas c = -1 et c = 0. 6. Onse place dans le cas où léquationf(x) = cadmet, sur [0,2π], 2 solutions distinctes x1et x2. x1 x2 x1 x2Déterminer cos + cos cos et .cos . 2 2 2 2x7. Résoudre8y"(x) + 5y(x) = 3 [cos = 0.y ' (0)- cos(x)], avec y(0) = 2 et 28. Reprendrela question III.7 en appliquant le résultat de la question II.3 à des valeurs particulières deαetβ. PARTIE IV n xOn posePn(x)= f1(x) ,etUn(x)= sin .Pn(x). n k=0 22k 1 1. Montrerque U1=U0. 2 2. Montrerque la suite(Un)est géométrique. nN 3. Endéduire, pour x]0,π] la limite dePn(x)quand n tend vers linfini. 4. Vérifierque le résultat précédent peut se prolonger par continuité à x = 0.
PARTIE V On note Fαla fonction de période 2π, telle queFα(x) = fα(x)sur [-π, +π]. 1. ComparerFketfksi kN* . Dans toute la suite, on suppose queαnest pas entier. 2. Représentersommairement F1et F4pour x[0, 2π]. 3 3 3. MontrerqueFα estcontinue surR, mais non dérivable aux points dabscisses (2p+1)π. 4. Onnote à nouveau E et d les parties entière et décimale deα. ' Discuter suivant E et d les signes deFα(π)et de(Fα)(π), dérivée à gauche deFαenπ. g 5. Déterminerles coefficients de Fourier deFα(quon notera pour simplifieran(α)etbn(α)).Ecrire la série de Fourier deFαet préciser sa convergence. 6. Quelleest la limite dean(α) quandαtend vers un entier naturel non nul k ? 7. Déduiredu résultat obtenu en 5 un développement en série de cot(απ). ____________ Fin de lénoncé