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Mathématiques 2001 BTS Systèmes électroniques

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Examen du Supérieur BTS Systèmes électroniques. Sujet de Mathématiques 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2001 sur Bankexam.fr.
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E x e rc i c e1 Partie A.
BTS Electronique 2001
1) Ona obtenu à l'aide d'une calculatrice : π π 2 sin t cos tdt=sin t cos(2t)dt0 et=00 3 Justifier ces deux résultats en calculant les intégrales.
2) Onconsidère le signal, modélisé par la fonction e, de période 2π, définie par : e(t)=sin tsi t[0;π] e(t)=0 sit]π; 2π[
a. Tracer,dans un repère orthogonal, la représentation graphique de e pour t variant dans l'intervalle [2π; 4π]. b. Calculerles coefficients de Fourier a0, a1et a2de la fonction e. On admettra pour la suite de 1 l'exercice que les coefficients b1= etb2= 0. 2 3) Utilisationde la formule de BesselParseval. 2 a. CalculerE lecarré de la valeur efficace du signal e. b. Onsait par ailleurs que la formule de BesselParseval donne : 2 2 a+b 2 2n n E=a+0 n=12 Dans le cas présent, on décide de ne garder que les harmoniques de rang 1 et 2. On pose alors : 212 2 2 2 .a b a bP a=0+(1+1+2+2) 2 3P Calculer P, puis donner une approximation à 10près du rapport. 2 E Partie B. On se propose maintenant de calculer l'intensité i du courant dans un circuit RC lorsqu'il est alimenté par le signal e défini dans la partie A. L'équation permettant de trouver l'intensité du courant s'écrit, pour t[0 ; +[, t 1 Ri(t)+i(u)du=e(t) (1). 0 c Pour déterminer la fonction i on remplace e par son développement en série de Fourier limité à l'ordre. L'équation (1) devient alors : t 1 11 2 Ri(t)+i(u)du= +sin tcos(2t) (2) 0 Cπ2 3π On admet que l'intensité i du courant est une fonction dérivable sur [0 ; +[. On prend pour toute la suite de 4 l'exercice R = 5000et C = 10F.
1) Montrerque l'équation (2) peut alors se transformer et s'écrire : di 4 43 (t)+2i(t)=10 cos(t)+10 sin(2t) dt 15π (3) t[0 ;+[
55 2) Vérifierque lai fonction i1telle que1(t)=4.10 cos(t)+2.10 sin(t)est une solution de l'équation : di 4 (t)+2i(t)=10 cos(t) dt t[0 ;+[
3) Déterminerune solution particulière i2de l'équation : di 43 (t)+2i(t)=10 sin(2t) dt 15π t[0 ;+[
4) Résoudrealors l'équation (3). En déduire la solution vérifiant al condition i(0) = 0.
E x e rc i c e2
  Le plan complexe P est rapporté au repère(O; u; v ).
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argumentπ/2.
Soit fl'application qui à tout point m de P d'affixe z ( z1 ), associe le point M d'affixe : z 1 Z= =1. 1+z 1+z
P a r t i eA .
3 1) Déterminerl'ensemble D des points d'affixe+iy; y#. 2
2) Soitz1= z + 1. Préciser la transformation géométrique T1qui associe à un point m d'affixe z, le point M1d'affixe z1. Quelle est l'image, notée D1, de D par la transformation T1?
3) SoitT2la transformation géométrique qui au point d'affixe z ( z0 ) associe le point M2d'affixe 1 zuelle es?D parla transformation T 2=. Qt l'image,Γ2de1 2 z
4) SoitT3la transformation géométrique qui au point d'affixe z associe le point M3d'affixe z3= z. Préciser la nature de T3. Quelle est l'image, notéeΓ3, deΓ2 par la transformation T3?
1 3 5) Déterminerl'ensembleΓdes points M d'affixeZ=1lorsquez=+iy(y#). 1+z 2 6) Représentersur une même figureles ensembles successivement obtenus D, D1,Γ2,Γ3, et Γ(unité graphique 2 cm).
P a r t i eB .
3 z32y 1) Soitz=+iy( y#). On remarque queZ=peut alors s'écrireZ=. 2 1+z12y 2 Montrer que Zpossède un argument notéϕ(y) tel que :ϕ(y)=arctan(2y)arctan( y). 3
2) Etudierles variations de la fonctionϕsur#(préciser les limites aux bornes) et en déduire la valeur minimaleϕmde la fonctionϕ.
3) Utiliserla figure établie au A 6) pour retrouver la valeur deϕm.