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Mathématiques 2002 Classe Prepa HEC (ECT) Institut Supérieur de Gestion (ISG)

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Examen du Supérieur Institut Supérieur de Gestion (ISG). Sujet de Mathématiques 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2002 sur Bankexam.fr.
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ISG 2002 Option technologique
Exercice 1 1. Onconsidère les suites(un)n>1et(vn)n>1dénies par : 1 11 1 un+ += 1 +  +lnn et vn=un: 2 3n n n+1 R 1dt1 (a) Pourtout entier naturelnnon nul, montrer que :6 6. n+ 1t n n (b) Montrerque les suites(un)n>1et(vn)n>1sont monotones. (c) Déterminerlim (unvn). n!+1 (d) Endéduire que les suites(un)n>1et(vn)n>1sont convergentes et de même limite. n 1 11P1 2. Pourtout entier naturelnnon nul, on noteSn= + +  + =. n+ 1n2+ 2n n+k k=1 (a) Montrerqueuu=Sln 2. 2n nn (b) EndéduirelimSn. n!+1 3. Pourtout entier naturelnnon nul, on note :     ln 2ln 2ln 2 Tn+= exp+ exp  + expn; n+ 1n+ 22n 2 (a) Etablirque pour toutxde lintervalle]0; 1]:1 +x <exp(x)<1 +x+x. (b) Endéduire un encadrement deTn. 1 11 1 (c) Justierque :+ +  +<. 2 22 (n+ 1)(n+ 2)(2n)n (d) DéterminerlimTn. n!+1
Exercice 2 On donne un réelxet u entierntels que :0< x <1etn>2. On estime que dans une population f la proportion dindividus connaissant la signication du sigle M.B.A estx. On interrogenpersonnes de la population F et on demande à chacune dentre elle de choisir entre trois dénitions di¤érentesA1,A2,A3du sigle M.B.A. celle qui lui paraît la bonne. La dénitionA1étant la dénition exacte, on admet que les personnes connaissant la dénition du sigle M.B.A. choisissent nécessairementA1, les autres personnes (ignorantes) répondent au hasard. De pus, on suppose que les réponses fournies par les di¤érentes personnes sont indépendantes entre elles. On note : Clévénement "la personne choisie connait la signication du sigle M.B.A." Dilévénement "la personne choisie donne la réponseAi",16i63
1. (a)Pour16i63, on notepiles probabilitéspi=p(Di). 1 + 2x1x Montrer quep1=etp2=p3=. 3 3 (b) Calculerla probabilitéq(x)quune personne ayant choisie la réponseA1connaisse la signication du sigle M.B.A.
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2. Pouri= 1;2;3, on désigne parXila variable aléatoire réelle prenant pour valeurs le nombre de réponse Aichoisies par lesnpersonnes interrogées. (a) Donnerla loi de probabilité de chaque variable aléatoireXi. (b) Calculerlespérancemiet lécart-typeide chaque variable aléatoireXi. n (c) Montrerque, pouri= 2 et 3,mim< <1. 3 n 2 (d) Montrerque pouri= 1;2;3,(i)6. 4 3. Onveut estimer la valeur dex, pour ce faire on constitue n échantillons de 30 personnes chacun. Les échantillons étant notése1; e1e; : : : ;N. Pour16j6N, on noteYjle nombre de personnes de léchantillonejayant choisi la réponseA1. Y1+Y2+  +YN On poseZN= N (a) Pourtoutj,16j6N, donner, en fonction dex, lespérance et la variance deYj. (b) Endéduire, en fonction dexet den, lespéranceE(ZN)et la varianceV(ZN)deZN. (c) Enutilisant linégalité de Bienaymé-Tchébychev, montrer que, pour tout réeltstrictement positif, 30 06p(jZNm1j>t)6: 2 4N t (d) Endéduire que :limp(jZNm1j< t) = 1. N!+1 Ainsi,Zest une bonne approximation dem1. (e) Sur50 échantillons de 30 personnes, on a relevé une moyenneZ50= 12(de réponsesA1). Donner, alors, une estimation dex.
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