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Mathématiques 2004 TELECOM Management

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Examen du Supérieur TELECOM Management. Sujet de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.
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INT-MANAGEMENT 2004
L’ÉnoncÉ comporte deux problÈmes indÉpendants. Ils doivent tre rÉdigÉs sur des copies sÉparÉes.
ProblÈme.
PremiÈre partie.
ite relldfinie par : 1) Onconsidre la sueu=(un)nN nZn X 1dx nN, un=√ −. p1x p=1 a) Ètudierle sens de variation de la suiteu. b) Montrerque la suiteuest convergente vers un relLque l’on ne cherchera pas À calculer. n X 1 c) Endduire un quivalent delorsquentend vers plus l’infini. p p=1 2) Soitla suitev=(vn) dfiniepar : nN i h π v00,nN, vn+1=sinvn. 2 a) Ètudierle sens de variation de la suitev. b) Montrerque la suitevest convergente vers un rel que l’on prcisera. α α c) Dterminerun relαtel que la suite de terme gnralvvconverge vers un n+1n rel non nul. d) Onadmettra le thorme de Csaro, À savoir :  ! n X 1 Pour toute suite rellewconvergente vers un relllimon awk=l. n+n k=1 A l’aide du thorme de Csaro, montrer que : r 3 vn. n+n 3) Ondfinit la suitespar : n X nN, sn=vp. p=1 a) Dterminerla limite desnlorsquentend vers plus l’infini.
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r 3 b)αremarquant que) Envnquivaut Àquandntend vers plus l’infini, montrer n que, pour tout relεstrictement positif, il existe un entier naturelNtel que, pour tout entier naturelnstrictement suprieur ÀNon ait : s ! n X 3 vp p p=N+1 < ε. sn   s n X 3 βdduire que) Ensnquandquivaut Àntend vers plus l’infini. p p=1 γ) Dterminerun quivalent simple desnlorsquentend vers plus l’infini.
DeuxiÈme partie. P P n n On considre deux sries entires rellesanxetbnxde mme rayon de conver-gence gal À 1 et vrifiant les proprits suivantes : nN,an>0 etbn>0. anbn. n+ P la srieandiverge. ++X X n n On note :x]1,1[,f(x)=anxetg(x)=bnx . n=0n=0 1) a)Montrer quefest croissante sur ]0,1[. b) Montrerque limf(x)=+. x1 x<1 2) a)En remarquant queanquivaut Àbnlorsque l’entier naturelntend vers plus l’infini, montrer que, pour tout relεstrictement positif, il existe un entier naturel Ntel que, pour tout relxappartenant À l’intervalle ]0,1[ on ait : +X n (bnan)x6εf(x) n=N+1 N X n (bnan)x n=1 b) Enutilisant la question II) 1) b), dterminer la limite dequandx f(x) tend vers 1 par valeurs infrieures. c) Endduire quef(x) est quivalent Àg(x) lorsquextend vers 1 par valeurs inf-rieures.
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TroisiÈme partie.
P n On considre la srie entire rellevnxvest la suite dfinie dans la partie I ) question 2), on noteraVl’application dfinie sur ]1,1[ par :
+X n x]1,1[, V(x)=vnx . n=0 1) a)Montrer queVest bien dfinie. b) OnnoteWl’application dfinie sur ]1,1[ par : +X n x x]1,1[, W(x)=. n n=1 Montrer queWest bien dfinie et que : V(x)W(x) 3. x1 1 2) Onpose pour toutxde ]0,1[,h(x)=p. x(1x)   1 1 a) Montrerque l ’applicationx7→pest intgrable sur l’intervalle0, , 2 x(1x) Z 1 2 dx calculer l’intgralep. 0x(1x) b) Montrerque : " #   +n1 X X k 21n x]1,1[,[W(x)]=h x. n n n=2k=1 c) Onnotera : n1  X 1k n>2, Hn=h . n n k=1 α) Montrerque : " # m1   X 1k1 m>1, H2m=2h+h . 2m2m2 k=1 βque :) Montrer " # m  X 2k m>1, H2m+1=h . 2m+ 12m+ 1 k=1
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γ) En encadrant avec soinH2metH2m+1, dterminer les limites deH2met H2m+1lorsquemtend vers plus l’infini. 3) Dduiredes questions prcdentes un quivalent simple deW(x) puis deV(x) lorsque xtend vers 1.
QuatriÈme partie.
Soitkl’application dfinie sur [0,1] par :   1 t0, ,k(t)=0. e   1 1 t,1, k(t)=. e t On admettra la proprit (K) : 2 ε >0, il existe un couple (P, Q)(R[X]) telque : Z Z 1 1 x[0,1], P(x)6k(x)6Q(x),(k(x)P(x))dx6ε ,(Q(x)k(x))dx6ε. 0 0 X n On considre une srie entire rellecnxde rayon de convergence gal À 1 telle que : +X 1 n n>0, cn>0 etcnx. 1x x1 n=0 +X n On noteraF(x)=cnxpourx]0,1[. n=0 1) a)Montrer que : +X 1 n+np pN,lim (1x)cnx=. p+ 1 x1 n=0 b) Endduire que : +Z X 1 n n RR[X],lim (1x)cnx R(x)=R(t)dt. x1 0 n=0 2) Enutilisant la proprit (K), montrer que : +Z 1 X n n lim (1x)cnx k(x)=k(t)dt. x1 0 n=0 1 − ∗ 3) Enposantx=eavecNN, montrer que : N N X cnN. N+n=0
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X n 4) Soitune srie entire rellednxde rayon de convergence gal À 1 telle que : +X 1 n n>0, dn>0et dnx∼ √. x1 1x n=0 a) Donnerun exemple de srie de terme gnraldnremplissant les conditions pr-cdentes . n n X X b) Onnote ,nN, Tn=dpeten=dkdnk. p=0k=0 αutilisant les questions prcdentes, montrer que :) En N X enN. N+n=0 β) Montrerque pour tout entier naturelN: N2N X X 2 en6T6en. N n=0n=0 γdduire que) EnTn=O(n) quandntend vers plus l’infini. h i Tn δ) Montrerque s’il existeλRtel quelim=λalorsλ1,2 . n+n
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Exercice.
SoitEunCespace vectoriel de dimension finien >0 etuune application linaire de L(E). 2 1) Onsuppose queuest un automorphisme deEtel queusoit diagonalisable. a) Rappeler une condition ncessaire et susante concernant les proprits d’un 2 polynÔme annulateur deu. b) Montrerqueuest diagonalisable. 2) Soitvun automorphisme deEdiagonalisable À valeurs propres strictement positives. a) Onsuppose qu’il existe un automorphismeudeE, À valeurs propres strictement 2 positives tel queu=v. α) Montrerque les sous-espaces propres devsont stables paru. β) Montrerque la restriction de l’automorphismeuÀ tout sous-espace propre de vest diagonalisable. γ) Soitλune valeur propre strictement positive dev, montrer que le sous-espace propre devassoci À la valeur propreλ,est gal au sous-espace propre deu associ À la valeur propreλ. δdduire que) Enuest unique . b) Montrerl’existence d’un automorphismeudeE, À valeurs propres strictement 2 positives, telqueu=v. c) Soitul’unique automorphisme À valeurs propres strictement positives vrifiant 2 u=v,montrer qu’il existe un polynÔmePÀ coecients complexes tel que l’on ait :u=P(v). 2 3) Onsupposeudiagonalisable, dterminer une condition ncessaire et susante pour queusoit diagonalisable. 4) Plusgnralement, soitPun polynÔme À coecients complexes tel queP(u) soit dia-0 gonalisable, on suppose que toute racine complexe du polynÔme drivPn’est pas valeur propre de l’endomorphismeP(u).Montrer queuest diagonalisable.
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