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Mathématiques 2006 Classe Prepa HEC (S) Concours Ecricome

6 pages
Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2006 sur Bankexam.fr.
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ECRI COME Banque dépreuves communes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esc marseille/ icnancy /esc reims/ esrouen /esc toulouse
CONCOURS DADMISSION
option scientique
MATHÉMATIQUES
Aucun instrument de calcul nest autorisé. Aucun document nest autorisé.
Lénoncé comporte 6 pages
Année 2006
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de lénoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs a¢ rmations.
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EXERCICE 1 3 On considère lespace vectoriel euclidienRmuni de son produit scalaire canonique et on noteB= (i; j; k)la base 3 canonique deR. 3 3 Pour tout(x; y)2RRon a donc : t < x;y >=XY XetYdésignent les matrices colonnes des coordonnées dexetydans la baseB. 3?3 SiFest un sous-espace vectoriel deR,Fdésigne le supplémentaire orthogonal deFdansR 3 33 On noteL(R)lensemble des endomorphismes deRetIdlapplication identité deR. 3?3 Pourfendomorphisme deR, de matriceMdans la base canonique, on noteflendomorphisme deRdont la t matrice dans la base canonique estM.
? Partie I : Quelques propriétés def. 3 Dans cette questionfest un endomorphisme deR. 1. Montrerque : 3 2? 8(x; y)2(R)f; <(x)>; y=< x;f(y)> ?3 2. Montrerquefest le seul endomorphismegdeRvériant 3 2 8(x; y)2(R)f; <(x); y>=< x;g(y)> 3 3. SoitFun sous espace vectoriel deRstable parf(cest-à-dire tel quef(F)F). ?? (a) Pourx2Fety2F, calculer< x;f(y)>. ?? (b) Endéduire queFest stable parf.
Partie II : Réduction des matrices dun ensembleE. 3 On désigne parElensemble des endomorphismesfudeRdont la matrice dans la baseBest de la forme 0 1 a b c @ A Mu=c a b b c a 3 u= (a; b; c)2R. 3 1. MontrerqueEest un sous espace vectoriel deL(R). 3? 2. Montrerque pour toutu2R,fappartient àE. u 1 11 3. Onnotee1=p(i+j+k); e2=p(ij); e3=p(i+j2k)etDla droite de vecteur directeure1. 3 26 (a) Montrerquee1est un vecteur propre commun aux élémentsfudeE. 3 (b) Endéduire que, pour toutu2R,Dest stable parfu. 3? (c) Déduiredes questions précédentes que, pour toutu2R,Dest stable parfu. ? (d) Déterminerune équation deD. ? 0 (e) Montrerque(e2; e3)est une base orthonormale deDet queB= (e1; e2; e3)est une base orthonormale 3 deR. 0 (f) Justieralors que la matrice defudans la baseBest de la forme 0 1 e0 0 @ A Nu= 0f g 0h ` e,f,g,h,`sont des réels.
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EXERCICE 2 On considère la fonctionfdes deux variables réellesx,t, dénie par : 2p t f(x; t) =e1 +xt 1. Etudedef. 2 (a) Justierquefest de classeCsur[0;+1[[0;+1[. (b) Pour(x; t)2[0;+1[[0;+1[, calculer 2 @f @f (x; t)et(x; t) 2 @x @x (c) Montrerque pour(x; t)2[0;+1[[0;+1[, 2 2 @ ft2 t 6e 2@x(x; t) 4 2. Montrerque pour tout réelstrictement positif, lintégrale +1 Z 2 t t et 0 est convergente. En déduire que pour tout réelxpositif, les intégrales suivantes sont convergentes : +1+1 Z Z2 t 2p te t e1 +xtdtetpdt 1 +xt 0 0 3. Onconsidère la fonctiongdénie sur[0;+1[par +1+1 Z Z 2p t g(x) =f(x; t)dt=e1 +xtdt 0 0 (a) Sanschercher à calculer la dérivée deg, montrer quegest croissante sur[0;+1[. (b) Soitx02[0;+1[. Montrer que pour(x; t)2[0;+1[[0;+1[, 2 @f t2 t2 f(x; t)f(x0; t)(xx0) (x0; t)6ejxx0j @x8 (c) Endéduire que pourx02[0;+1[, +1+1 Z Z 2 @fjxx0j2t 2 g(x)g(x0)(xx0) (x0; t)dt6dtt e @x8   0 0
0 (d) Montrerquegest dérivable sur[0;+1[et quegest dénie par
Retrouver le sens de variations deg.
+1 Z @f 0 g(x) =(x; t)dt @x 0
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PROBLEME On e¤ectue une succession innie de lancers indépendants dune pièce donnant Pile avec la probabilitép2]0;1[et Face avec la probabilitéq= 1p. On va sintéresser dans ce problème aux successions de lancers amenant un même côté. On dit que la première série est de longueurn>1si lesnpremiers lancers ont amené le même côté de la pièce et le(n+ 1)-ième lautre côté. De même la deuxième série commence au lancer suivant la n de la première série et se termine (si elle se termine) au lancer précédant un changement de côté. On dénit de même les séries suivantes. désigne lensemble des successions innies de Pile ou Face. Pouri2N, on notePilelévénement «iet-ième lancer amène Pile »FiLes trois partieslévénement contraire. sont indépendantes.
Partie I : Etude des longueurs de séries.
1. OnnoteL1la longueur de la première série. Exprimer lévénement(L1=n)à laide des événementsPietFipourientier naturel variant entre1et n+ 1. En déduire que n n P(L1=n) =p q+q p Vérier que +1 X P(L1=n) = 1 n=1 2. OnnoteL2la longueur de la deuxième série.
(a) Exprimerlévénement(L1=n)\(L2=k)à laide des événementsPietFipourientier naturel variant entre1etn+k+ 1puis calculer la probabilité de lévénement(L1=n)\(L2=k). (b) Endéduire que, pourk2N, 2k1 2k1 P(L2=k) =p q+q p On admet que +1 X P(L2=k) = 1 k=1 (c) Montrerque la variable aléatoireL2admet une espérance égale à2.
Partie II : Etude du nombre de séries lors desnpremiers lancers. 1 On considère dans toute cette partie que la pièce estéquilibrée, cest-à-dire quep=. 2 On noteNnle nombre de sérieslors desnpremiers lancers: La première série est donc de longueurk < nsi leskpremiers lancers ont amené le même côté de la pièce et le(k+ 1)-ième lautre côté et de longueurnsi lesnpremiers lancers ont amené le même côté de la pièce ; La dernière série se termine nécessairement aun-ième lancer. Par exemple, si les lancers successifs donnent :FFPPPPFFPPP. . . (Fdésignant Face et P Pile), on a pour une telle succession!2, N1(!) =N2(!) = 1;N3(!) =  =N6(!) = 2; N7(!) =N8(!) = 3;N9(!) =  =N11(!) = 4; les données précédentes ne permettant évidemment pas de déterminerN12(!). On admettra queNnest une variable aléatoire sur(;A; P).
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1. Déterminerles lois deN1,N2etN3et donner leurs espérances. 2. Dans le cas général oùn2N, déterminerNn()(ensemble des valeurs prises parNn) puis calculer les valeurs deP(Nn= 1)etP(Nn=n). 3. Simulationinformatique. Pourk2N, on noteXkla variable aléatoire qui vaut1lorsque lek-ième lancer amène Pile et0sinon. On rappelle quen langage Pascal, la fonctionrandom(2)simule une variable aléatoire de loi uniforme sur 0;1(soit une loi de Bernoulli de paramètre1=2le programme informatique suivant pour). Compléter que,métant une valeur entière, inférieure à100, entrée par lutilisateur, il simule lesmvariables aléatoires X1; X2; : : : ; Xm(dont les valeurs seront placées dans le tableauX) et détermine les valeurs deN1; N2; : : : ; Nm (qui seront stockées dans le tableauN). program simulation; const nmax=100; type suite= array[l..nmax]of integer; var X, N: suite; m: integer; begin readln(m); randomize; X[1]:=...; N[1]:=...; for i:=2 to m do begin X[i]:=... ... ... end end. 4.Fonctions génératrices deNn: On pose, pourn2Net pours2[0;1], n X k Gn(s) =P(Nn=k)s k=1 Nn (a) Pours2[0;1], comparer lespérance de la variable aléatoiresavecGn(s). 0 (b) QuereprésenteG(1)? n (c) Montrerque pour toutn>2et toutk21; : : : ; non a 1 1 P((Nn=k)\Pn) =P((Nn1=k)\Pn1) +P((Nn1=k1)\Fn1) 2 2 On admet que lon obtiendrait de même 1 1 P((Nn=k)\Fn) =P((Nn1=k)\Fn1) +P((Nn1=k1)\Pn1) 2 2 Montrer alors que 1 1 P(Nn=k) =P(Nn1=k) +P(Nn1=k1) 2 2 (d) Soitn>2. Montrerque 1 +s Gn(s) =Gn1(s) 2 CalculerG1(s)et en déduire que   n1 1 +s Gn(s) =s 2 (e) Déterminerle nombre moyen de séries dans lesnpremiers lancers.
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Partie III : Probabilité davoir une innité de fois deux Pile consécutifs.
1. Montrerque pour tout réelxon a x 1x6e 2. Onconsidère dans cette question une suiévén te(Ai)Nindépendants. Ond ementssuppose que la série i2 de terme généralP(Ai)diverge. Soitk2Nxé. Pourn>k, on note [ Cn=Ai=Ak[    [An k6i6n (a) Justierque n X limP(Ai) = +1 n!+1 i=k
(b) Montrerque n Y P(Cn) = 1P(Ai) i=k puis, en utilisantIII.1, que n X P(Cn)>1exp(P(Ai)) i=k En déduire que limP(Cn) = 1 n!+1 (c) Comparerpour linclusion les événementsCnetCn+1peut-on en déduire pour. Que +1 [ P(Ci) ? i=k (d) Justierque +1+1 [ [ Ai=Cn i=k n=k
et en déduire que
+1 [ P(Ai) = 1 i=k
3. Enconsidérant les événementsAn« onobtient Pile au(2n)-ième et au(2n+ 1)-ième lancers» , montrer que la probabilité davoir deux Pile consécutifs, après nimporte quel lancer, vaut1.
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