Cette publication est accessible gratuitement
Lire

Mathématiques 2008 Concours GEIPI

17 pages
Concours du Supérieur Concours GEIPI. Sujet de Mathématiques 2008. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2008 sur Bankexam.fr.
Voir plus Voir moins
 
ISAT • ESIREM • POLYTECH’Nice-Sophia • POLYTECH’Orléans EEIGM • ENSGSI • ESSTIN • TELECOM Lille 1 • ISEL  ISTIA • ISTASE • ISTV • Sup GALILEE G ROUPEMENT D É COLE  D I NGENIEURS P UBLIQUES À  PARCOURS  I NTÉGRÉ  ’ ’  NOM :  PRENOM :      Centre d Examen :  
N° Inscription :  
  Epreuves de Mathématiques et de Physique-Chimie Ne rien inscrire Mercredi 7 mai 2008 ci-dessous 9 h - 12 h       SUJET DE MATHEMATIQUES       Nous conseillons de répartir équitablement les 3 heures d’épreuves entre les sujets 1 de mathématiques et de physique-chimie.     La durée conseillée de ce sujet de mathématique est de 1 h 30. 2   Il est noté sur 20 points.     3 L’usage d’une calculatrice est autorisé.     Tout échange de calculatrices entre candidats, pour quelque raison que ce soit, 4 est interdit.   Aucun document n’est autorisé. TOT  AL   L’usage du téléphone est interdit.    Vous devez traiter les quatre exercices indépendants proposés.    Les démonstrations ne sont à rédiger que si elles sont explicitement demandées.     
NE RIEN ECRIRE DANS LA PARTIE BARREE
Lesujetcomporte8pagesnume´rot´eesde2a`9
EXERCICE I - (7 points) Donnerlesre´ponses`acetexercicedanslecadrepr´evu`alapage3
Onconsid`eredeuxfonctions f et g de´niessur · 32 π ; 2 π ¸ par : os x f ( x ) = cos x g ( x )=1c sin x . Soient C f et C g lescourbesrepr´esentativesde f et g dansunrepe`re ( O,~ı,~ ) orthonorme´. I-1-a-Pour tout x de · 32 π ; 2 π ¸ , g ( x ) f ( x ) s´ecritsouslaforme: g ( x ) f ( x ) = 1 h (s x i) x .Donneruneexpressionsimpli´eede h ( x ) . n I-1-b-D´eterminerlensemble S dessolutionsdele´quation g ( x ) f ( x ) = 0 dans ; 2 . I-1-c-· Et 3 u 2 π dier le π ¸ signe de g ( x ) f ( x ) sur · 2;2 π ¸ . 3 π I-1-d-De´terminerlescoordonne´esdespointsdintersection C et D des courbes C f et C g . Pre´cisezlespositionsrelativesdescourbes C f et C g . I-2-a-De´terminer f 0 ( x ) ,o`u f 0 d´esignelad´eriv´eede f . I-2-b-Dresser le tableau des variations de f . I-3-a-De´terminer g 0 ( x ) ,o`u g 0 de´signelade´rive´ede g . I-3-b-Dresser le tableau des variations de g . I 4-a-Don ´quation des tangentes T C et T D a`lacourbe C f aux points C et D . -ner une e I-4-b-Donnerunee´quationdestangentes T 0 C et T 0 D a`lacourbe C g aux points C et D . I-5-Tracer les courbes C f et C g ainsi que les tangentes T C , T D et T 0 C et T 0 D . -6-a-On pose : I = Z 32 2 π π cos x dx et J = Z 32 2 π π 1c ossi x n x I dx . D´terminer les valeurs de I et de J . Justifier les calculs. e I-6-b-Sur la figure de la question I-5-, colorier la partie de plan d’aire I J unit´esdaires.
2/9
CONCOURS GEIPI 2008 MATHEMATIQUES
I-1-a-I-1-b-I-1-d-I-2-a-I-3-a-I-4-a-I-5-
I-6-a-
NE RIEN ECRIRE DANS LA PARTIE BARREE
REPONSES A L’EXERCICE I
h ( x ) = I-1-c-3 π 2 S = n o sign x e de g ( x ) f ( x ) C ¡ ; ¢ et D ¡ ; ¢ Positions relatives de C f et C g : I-2-b-x 32 π f 0 ( x ) = f 0 ( x ) f ( x ) I-3-b-x 32 π g 0 ( x ) = g 0 ( x ) g ( x ) T C : I-4-b-T 0 C : T D : T 0 D :
I = car J = car
~ 3 π ~ 2 ı
I-6-b– Utilisez la figure de I-A-5-. CONCOURS GEIPI 2008 MATHEMATIQUES
2 π
2 π
2 π
2 π
3/9
NE RIEN ECRIRE DANS LA PARTIE BARREE
EXERCICE II - (2,5 points) u Donnerlesre´ponses`acetexercicedanslecadrepre´v`alapage5
Danscetexercice,pourchaqueprobabilite´demand´ee,ondonnera sa valeur exacte ,´ecritesous forme de fractionirre´ductible .
Au cours d’une loterie, vingt billets sont mis en vente au prix de 6 euros le billet. Cinq billets seulement sont gagnants, chacun rapportant 30 euros. Unjoueurache`tedeuxbillets. On note X lavariableale´atoirerepr´esentantleb´ene´cenetdujoueur,exprim´eeneuros.Le b´en´ecenetestlegain(positifounul)per¸cuparlejoueura`lissuedelapartie,diminue´duprix dachatdesdeuxbillets.Leb´ene´cenetpeutdonceˆtrene´gatif.
II-1-a-Donner,dansletableaupr´evu,laloideprobabilit´ede X . II-1-b-Donnerlesp´erancemathe´matique E ( X ) de X . II-2-Lorganisateurdelaloterieproposedemultiplierlesgainspardeuxsionach`eteles billetsa` 13 euros le billet. Soit Y lavariableal´eatoirerepr´esentantleb´ene´cenet,eneuros,dunjoueurache-tantdeuxbilletsa` 13 euros le billet. II-2-a-Donner,dansletabl´,laloideprobabilit´ede Y . eau prevu II-2-b-Donnerlespe´rancemathe´matique E ( Y ) de Y . II-2-c-Lejoueura-t-ilint´erˆeta`accepterlapropositiondelorganisateur?Justierlare´-ponse.
4/9
CONCOURS GEIPI 2008 MATHEMATIQUES
II-1-a-
II-1-b-
II-2-a-
II-2-b-
II-2-c-
x i
NE RIEN ECRIRE DANS LA PARTIE BARREE
REPONSES A L’EXERCICE II
P ( X = x i )
E ( X ) =
y i
P ( Y = y i )
E ( Y ) =
CONCOURS GEIPI 2008 MATHEMATIQUES
5/9
NE RIEN ECRIRE DANS LA PARTIE BARREE
EXERCICE III - (4 points) Donnerlesre´p`etexercicedanslecadrepre´vua`lapage7 onses a c
Dansleplancomplexerat´urepe`re ( O,~u ; ~v ) orthomorme´,onconsid`erelespoints A , I ppor e a et B d’affixes respectives : z A = 1 , z I = 2 et z B = 3
Pour tout complexe z ,di´erentde 2 , on pose : z 0 = z 12+ 2
Onconside`relafonction F quia`toutpoint M duplan,di´erentde I et d’affixe z , associe le point M 0 d’affixe z 0 .
III-1-D´eterminerlensemble E des points M tels que F ( M ) = M .Justierlare´ponse. III-2-a-Calculer, en fonction de z , les affixes des vecteurs IM et IM 0 .
III-2-b-End´eduireunerelationentreleslongueurs IM et IM 0 et une relation entre les gles ( u~ ; M ) −−→ an I et ( ~u ; IM 0 ) .
III-3-Onconside`reunpoint M die´rentde I , de A et de B . Soit z son affixe. 1 z 0 1 z III-3-a-Donnerlere´el β quive´rie: 3 z 0 = β 3 z . M 0 A M A III-3-b-Ende´duireunerelationentreetetunerelationentrelesanles M 0 B M B g ( M 0 B ; M 0 A ) et M B ; M A ) .
III-3-c-On suppose dans cette question que M appartienta`lame´diatrice Δ du segment [ AB ] .Quepeutonende´duirepourlepoint M 0 ?Justierlare´ponse.
6/9
CONCOURS GEIPI 2008 MATHEMATIQUES
III-1-
III-2-a-
III-2-b-
III-3-a-
III-3-b-
III-3-c-
NE RIEN ECRIRE DANS LA PARTIE BARREE
REPONSES A L’EXERCICE III E = n o car
affixe de IM : −−→ affixe de IM 0 :
Relation entre IM et IM 0 : Relation entr ( ~u t ( u~ ; I −− M 0 ) : e ; IM ) e
β =
M 0 A M A Relation entre et : M 0 B M B
−− Relation entre ( M 0 B ; M 0 A ) et ( M −→ B ; M A ) :
M 0 car
CONCOURS GEIPI 2008 MATHEMATIQUES
7/9
NE RIEN ECRIRE DANS LA PARTIE BARREE
EXERCICE IV- (6,5 points) Donnerlesr´eponsesacetexercicedanslecadrepr´evua`lapage9 ` QuestionPre´liminaire Onconside`reuntrianglequelconque LM N du plan. On note H la projection orthogonale de L sur la droite ( M N ) et I le milieu du segment [ M N ] . IV-0-D´emontrerquelesairesdestriangles LM I et LIN sont´egales.
Soit ABC untriangleduplan.Onconsid`erelespoints A 0 , B 0 et C 0 de´nisdelafac¸on suivante : AC 0 =1 A −→ B B A 0 =1 B C CB 0 =1 C A 3 3 3 Les droites ( AA 0 ) et ( BB 0 ) se coupent en un point P , les droites ( BB 0 ) et ( CC 0 ) se coupent en un point Q et les droites ( AA 0 ) et ( CC 0 ) se coupent en un point R .
IV-1-Construire les points A 0 , B 0 C 0 et les points P , Q , R sur la figure d ´ , onnee. IV-2-D´eterminerlesr´eels a , b et c tels que : -C 0 soitlebarycentredusyste`me { ( A, a ) ; ( B, 1) } , -A 0 soitlebarycentredusyst`eme { ( B, b ) ; ( C, 1) } , -B 0 soitlebarycentredusyst`eme { ( A, 1) ; ( C, c ) } . IV-3-Onconside`relesbarycentres G 1 , G 2 et G 3 dessyste`messuivants: G 1 = bar { ( A, 2) ; ( B, 1) ; ( C, 4) } , G 2 = bar { ( A, 4) ; ( B, 2) ; ( C, 1) } , G 3 = bar { ( A, 1) ; ( B, 4) ; ( C, 2) } . IV-3-a-Expliquer pourquoi G 1 appartient aux droites ( CC 0 ) et ( BB 0 ) . IV-3-b-Ende´duirequelestlepoint G 1 . IV-3-c-Demeˆme,identierlespoints G 2 et G 3 . IV-4-A l’aide de la question IV-B -3-,d´eterminerlesr´eels x , y , x 0 et y 0 tels que : y C B et C Q 0 C −→ A + y 0 C B . CR = x CA + = x End´eduirelapositionde Q sur le segment [ CR ] .Justiertouteslesre´ponses. IV-5-a-On admet alors que le point P est le milieu du segment [ BQ ] et que le point R est le milieu du segment [ AP ] . A l’aide des questions IV-0-et IV-4-,justierchaque´egalit´edairessuivante: Aire ( P QR ) = Aire ( P QC ) Aire ( P QC ) = Aire ( CBP ) Aire ( P QR ) = Aire ( BRP ) Aire ( BRP ) = Aire ( BRA ) Aire ( P QR ) = Aire ( AQR ) Aire ( AQR ) = Aire ( AQC ) rt k = Aire ( P QR ) IV-5-b-De´termineralorslerappo Aire ( ABC ) . 8/9
CONCOURS GEIPI 2008 MATHEMATIQUES
Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin