//img.uscri.be/pth/39abac50d40cd4549400deb47deb68628a6be02c
Cette publication est accessible gratuitement
Lire

Mathématiques 2010 Classe Prepa ATS Concours ATS (Adaptation Technicien Supérieur)

De
3 pages
Concours du Supérieur Concours ATS (Adaptation Technicien Supérieur). Sujet de Mathématiques 2010. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2010 sur Bankexam.fr.
Voir plus Voir moins
MathématiquesDurée : 3 heures.- Coefficient : 3 Les exercices sont indépendants. La calculatrice personnelle est interdite. Exercice 1 On pose pourkentier naturel,et 1) Calculeret . 2) Montrer que pour toutk.> 0, 3) Avec une intégration par parties, montrer que pour toutk >0
relation de récurrence(R)
.
.
 .En déduire la
4) Démontrer par récurrence que pour toutk[ On précisera bien les hypothèses> 0 de la démonstration par récurrence] On pose. 5) Démontrer, à partir de la relation de récurrence (R), que pour tout entiern>0 : 6a) Étudier la fonctionhdéfinie parsur .Donner son signe. 6b) Montrer que pour tout entierk.> 0, 6c) Donner, puis.
7) On pose
Montrer que
.
 et
8) Donner le rayon de convergence de la série entière
On considère la fonction. [ Remarque : nedéfinie par : pas chercher à calculer cette intégrale] 9a) Donner le développement en série entière de la fonction cosinus et donner son rayon de convergence. 9b) En utilisant ce développement dans, en déduire que  avec.
P 1/3
10a) Donner le développment en série entière de la fonction cosinus hyperbolique (ch) et donner son rayon de convergence. 10b) En déduire que pour tout réelxpuis que, ,. 11) En déduire que pour tout réelx, . Exercice 2 Soient deux réels positifsaetpavecp>0 . 1) Sachant que, montrer que
On pose
2a) Soit. En posant, montrer queen précisant etles bornesa,bde l'intégrale. 2b) DéterminerAetB tels que pour tout réel différent de +1 et -1,. 2c) En déduirepar intégration la valeur de. Exercice 3 Soit un espace vectoriel E de dimension 3 de base= etfendomorphimse dont la un
matriceAestdans la base
1a) Donner le polynôme caractéristique de la matriceA. 1b) Montrer quef. [ Indication : on vérifiera queet avecdeux valeurs propres, a est la plus grande des valeurs propres ] 2) Déterminer deux vecteurset ,tels queest une base du sous-espace propreet une base du sous-espace propre.3) Pourquoi la matriceAn'est elle pas diagonalisable ?
4a) Montrer que
est une base de E. [
est de composantes
4b) Calculer les composantes de, ,dans la base4c) Calculer les composantes de, ,dans la base
4d) Montrer que dans la base
, la matrice defest de la forme:
dans la base].
 en précisant.
5) Calculer, .En déduire une formule pourpour .Cette formule sera démontrée par récurrence. 6) Donner la matrice de passageP, puis calculer.de la basevers la base
P 2/3
7) Montrer queest inversible. Calculer.Démontrer que la formule trouvée au 5) est valable pour .[On note] 8) En déduire l'expression depour . Exercice 4 Le plan affine euclidien est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère la courbe Cde représentation paramétriquedéfinie par: 1) Justifier qu'il suffit de prendre le paramètretdans l'intervallepour étudier toute la courbe. 2a) Compareravec etmontrer que C admet une symétrie d'axe à préciser. 2b) Compareravec etmontrer que C admet une symétrie d'axe à préciser. 2c) Compareravec etmontrer que C admet une symétrie d'axe à préciser. 3) Proposer un intervalle d'étudeI quitienne compte des symétries précédemment trouvées. Préciser par quelles symétries successives on obtient la courbe C à partir du tracé obtenu pour 4) Calculer les dérivées dexetyet montrer qu'elles peuvent s'écrire :
Étudier les variations des fonctionsxetyet dresser leur tableau de variation conjoint sur l'intervalle . On noterale réel detel que
5) Préciser les coordonnées de, et
6) Tracer en gras la partie de la courbe C pour
ainsi que les vecteurs tangents en ces points
et en pointillés la partie complétée par les
transformations géométriques que l'on précisera. 7) Montrer que sisont les coordonnées polaires d'un point de la courbe C, on a 8) En déduire que la courbe C est inscrite dans un disque de centre O et d'un rayon à préciser.
P 3/3