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Mathématiques II 2003 BTS Informatique de gestion

4 pages
Examen du Supérieur BTS Informatique de gestion. Sujet de Mathématiques II 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2003 sur Bankexam.fr.
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BTS INFORMATIQUE DE GESTION
SESSION
2003
EF2
:
MATHÉMATIQUES
II
Durée : 1 heure
Coefficient : 1
ÉPREUVE
FACULTATIVE
Le (la) candidat (e) doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des calculatrices est autorisé.
Le formulaire officiel de mathématique est joint au sujet.
EXERCICE N° 1
(10 points)
On considère l'équation différentielle
(
E
) : (
x
+2 )
y
’ + (
x
+1 )
y
= – e
x
x
est une variable réelle positive,
y
est une fonction définie et dérivable sur [0,+
[ et
y
’ est sa
fonction dérivée.
1)
On considère la fonction
g
définie par
( )
1
2
x
g x
x
+
=
+
,
[
[
0,
x
+∞
.
a)
Montrer que
g
(
x
) peut s’écrire sous la forme
( )
1
1
2
g x
x
= -
+
.
b)
En déduire une primitive
G
de
g
sur l’intervalle
[
[
0,
+∞
.
c)
Résoudre l’équation :
(
)
(
)
(
)
[
[
'
:
2
'
1
0 sur l'intervalle 0,+
.
E
x
y
x
y
+
+
+
=
On montrera que les solutions de
(
)
'
E
peuvent s’écrire sous la forme
(
)
2 e
x
y
C x
-
=
+
C
est une constante réelle.
2)
Montrer que la fonction
φ
définie par
( )
e
x
x
ϕ
-
=
est une solution particulière de (
E
) .
3)
Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation (
E
) .
Page 2 sur 2
(10 points)
Toutes les probabilités demandées seront données sous leur forme exacte,
puis sous leur forme approchée décimale arrondie à
2
10
-
près.
On considère deux variables aléatoires
T
1
et
T
2
prenant pour valeurs les durées de vie en heures de
deux composants de types A et B.
T
1
suit une loi exponentielle de paramètre
λ
1
= 0,0011
T
2
suit une loi exponentielle de paramètre
λ
2
= 0,0008.
On supposera que les pannes des différents composants sont indépendantes les unes des autres.
1)
Quelle est la probabilité qu’un composant de type A soit encore en état de marche après 1000h
de fonctionnement ? Même question pour un composant de type B.
2)
Déterminer à partir de combien d’heures 70% des composants de type A auront eu leur première
défaillance.
3)
Pour essayer d’améliorer la fiabilité, on associe deux composants de type A en parallèle : quelle
est la probabilité qu’un tel système connaisse sa première panne avant 1000h de
fonctionnement ?
4)
On constitue un système associant en série un composant de type A et un composant de type B.
Quelle est la probabilité que ce système fonctionne encore au-delà de 1000h ?
EXERCICE N° 2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
BTS
Informatique de Gestion
Session 2003
Corrigé de l’épreuve de mathématiques EF2
Sujet
D
Page 1 sur 2
CORRIGE DU SUJET :
D
BTS INFORMATIQUE DE GESTION
SESSION 2003
EPREUVE DE MATHEMATIQUES
EF2
Question
Correction
Barème
proposé
Exercice I
1)a)
(
)
( )
( )
2
1
1
1
1
Calculons 1
. On a :
0,
1
.
2
2
2
2
x
x
g x
x
g x
x
x
x
x
+
-
+
-
=
=
=
∀ ≥
= -
+
+
+
+
1
1)b)
Avec l’égalité précédente :
( )
(
)
ln
2
G x
x
x
= -
+
:
G
est ainsi une primitive de
g
, à une
constante près, sur l’intervalle
[
[
0,
+∞
.
2
1)c)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
ln
2
Soit
' l'équation différentielle : x+2
'
1
0,
0.
Soit
une fonction qui ne s'annule jamais pour
0.
'
1
1
est solution de
'
1
ln
ln
2
2
2
est solution de
'
e
2 e
x
x
E
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
E
x
x
y
x
x
C
y
y
E
y
C x
C
- +
+
+
+
=
+
= -
= - +
= - +
+
+
+
=
=
+
(
)
(
)
'
.
La solution générale de l'équation
' est donc de la forme :
=
2 e
,
0.
C étant une constante réelle arbitraire.
x
x
E
E
y
C x
x
-
-
+
3
2)
(
)
( ) (
) ( )
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) (
) ( )
(
)
( )
Calculons :
x+2
'
1
2
e
1 e
2
1 e
e
.
Donc x+2
'
1
2
1 e
e
.
La fonction
:
e
est donc solution de l'équation différentielle
.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
E
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
-
-
-
-
-
-
-
+
+
=
+
-
+
+
= - - + +
= -
+
+
= - - + +
= -
1
3)
La solution générale de (
E
) est la somme de l’équation générale de l’équation homogène
associée
(question 1)) et d’une solution particulière de l’équation complète (question 2)).
La solution générale de (
E
) est donc la fonction définie, sur l’intervalle
[
[
0,
+∞
, par :
( )
(
)
( )
(
)
2 e
e
,
ou encore
e
2
1 ,
,
0.
x
x
x
f x
C x
C
f x
C x
C
x
¡
¡
-
-
-
=
+
+
Î
=
é
+
+ ù
Î
³
ë
û
3
Exercice II
1)
( )
(
)
( )
(
)
1
2
1
2
1
2
0,0011
1
1
0,0008
2
2
Soit
(respectivement
) la fonction de fiabilité associée à la variable
(respectivement associée à
).
On a donc :
=P
e
e
.
On a aussi :
=P
e
e
.
La probabili
t
t
t
t
R
R
T
T
R
t
T
t
R
t
T
t
λ
λ
-
-
-
-
>
=
=
>
=
=
(
)
0,0011 1000
1,1
2
1
té qu'un composant de type A soit encore en état de marche
après 1000 heures est donnée par :
P
1000
e
e
0,33
valeur arrondie à 10
près.
On a aussi pour un composant de type B :
P
T
-
×
-
-
>
=
=
=
(
)
0,0008 1000
0,8
2
2
1000
e
e
0, 45
valeur arrondie à 10
près.
T
-
×
-
-
>
=
=
=
3
2)
Le nombre d’heures,
t
,
à partir duquel 70% des composants de type A ont leur première
défaillance correspond au nombre d’heures,
t
,
pour lequel 30 % des composants de type
A n’ont pas encore de défaillance. On recherche donc
t
, tel que :
( )
0,0011
1
1
ln10
ln3
=0,3
e
0,3
1094,5
0,0011
valeur décimale arrondie à 10
près.
70 % des composants de type A ont leur première défaillance à partir, approximativement,
de la 1095 ème heure.
t
R
t
t
-
-
-
=
⇔ =
=
2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
BTS
Informatique de Gestion
Session 2003
Corrigé de l’épreuve de mathématiques EF2
Sujet
D
Page 2 sur 2
3)
Pour un montage en parallèle de plusieurs composants, la fonction de défaillance est le
produit des fonctions de défaillance.
Notons
F
la fonction de défaillance du système en parallèle constitué de deux composants
de type A :
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
0,0011
1
2
2
0,0011 1000
1,1
2
1
1
e
.
La probabilité que ce système connaise sa première panne avant 100 heures
de fonctionnement est donnée par :
1000
1
e
1
e
0, 45
valeur décimale arrondie à 10
t
F t
R
t
F
-
-
×
-
-
=
-
=
-
=
-
=
-
=
près.
2,5
4)
La fonction de fiabilité d’un montage en série est le produit des fonctions de fiabilité des
composants de ce montage.
Pour le système associant en série un composant de type A et un composant de type B, la
fonction de fiabilité est donc donnée par :
( )
( )
( )
(
)
0,0011
0,0008
0,0019
1
2
0,0019 1000
1,9
2
e
e
e
.
La probabilité que ce système en série fonctionne encore au-delà de 1000 heures
est donnée par :
1000
e
e
0,15
valeur décimale arrondie à 10
t
t
t
R t
R
t
R
t
R
-
-
-
-
×
-
-
=
×
=
×
=
=
=
=
près.
2,5