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Mathématiques Spécialité 2001 Littéraire Baccalauréat général

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Examen du Secondaire Baccalauréat général. Sujet de Mathématiques Spécialité 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques Spécialité 2001 sur Bankexam.fr.
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[Baccalauréat L 2001\
L’intégrale de septembre 2000 à juin 2001
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France septembre 2001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Antilles juin 2002. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 France juin 2002. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Baccalauréat L
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L’année 2001
[Baccalauréat L France septembre 2000\
EX E R C IC E14 points Pour les questions1et2cidessous, une seule des quatre réponses proposées est exacte. On demande à chaque fois d’indiquer laquelle, sans donner de justification. 1. a.On lance une pièce de monnaie six fois de suite et on note, à cha que lancer, le nom du côté visible (Pile ou Face). Le nombre de résultats possibles est :
6 2 2 2 6! 6C. 6 b.s disOn prend simultanément deux cartes au hasard parmi six carte tinctes et on note l’ensemble de deux cartes obtenu. Le nombr e de ti rages possibles est :
6 2 2 2 6! 6C. 6 c.Six personnes s’installent sur une rangée de six sièges. Le nombre de dis positions possibles est :
6 2 2 2 6! 6C. 6 2.Une urne contient six boules indiscernables au toucher : trois blanches, deux noires et une rouge. On tire simultanément trois boules de l’urne au hasard.
a.La probabilité d’obtenir trois boules blanches est :
1 3 1 1 . 20 20 3 2 b.La probabilité d’obtenir exactement une boule blanche est :
1 1 9 1 . 6 3 20 20 c.La probabilité d’obtenir au moins une boule blanche est :
1 2 17 19 . 2 3 20 20 Dans la question3.cidessous, toutes les réponses devront être justifiées. 3.Un élève a répondu au hasard et de façon indépendante aux six questions pré cédentes.
a.Quelle est la probabilité qu’il ait au moins une réponse exacte ? b.Quelle est la probabilité qu’il ait exactement cinq réponses exactes.
EX E R C IC E25 points La courbe tracée sur la feuille annexe a été tracée à l’aide d’ un ordinateur. Elle re ³ ´ présente, dans un plan muni d’un repère orthonormal O,ı,, une fonctionf: définie et dérivable sur ]2 ;+∞[, monotone sur ]2 ; 0] et sur [0 ;+∞[, ayant pour limite−∞quandxtend vers2 et quandxtend vers+∞.
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L’année 2001
On admet que : A, B et C sont des points de cette courbe, la tangente au point A passe par le point E, la tangente au point B est parallèle à l’axe des abscisses. 1.Dans cette question, on donnera les résultats sans justification, en s’appuyant sur l’observation du graphique et les indications fournies par le texte.
′ ′ a.Déterminerf(1),f(0),f(2),f(1) etf(0). b.Donner le signe def(x), puis celui def(x). £ ¤ 2 2.On définit sur ]2 ;+∞[ la fonctiongparg(x)=f(x) .
a.Calculerg(1),g(0),g(2). b.Déterminer limg(x) et limg(x). x→ −2x→+∞ x>−2 ′ ′ c.Sachant queg(x)=2f(x)f(x), étudier le signe deg(x) puis dresser le tableau de variations degen indiquant les limites.
3.Tracer sur la feuille annexe, qui sera remise avec la copie, u ne courbe repré sentative d’une fonction satisfaisant aux résultats obtenus précédemment pour la fonctiong.
PR O B L È M E11 points On prendra soin de faire figurer sur la copie les calculs inter médiaires condui sant aux résultats présentés. On considère la fonctionfdéfinie surRpar
3 1 x2 f(x)=x+ − =x+3ee . x2x e e On noteCla courbe représentative defdans le plan rapporté à un repère ortho ³ ´ normal O,ı,.
Partie A : étude d’une fonction auxiliaire La fonctiongest définie surRpar
x2x g(x)=13e+2e . x x (e1) (e2) 1.Montrer que, pour tout réelx,g(x)=. 2x e 2.Étudier le signe deg(x) suivant les valeurs dex.
Partie B : étude de la fonctionf 1.Montrer que, pour tout réelx,f(x)=g(x). En déduire le tableau de variations defsurR. 2. a.Déterminer limf(x). x→+∞ 2x x b.En écrivantf(x) sous la formef(x)=x+e (3e1), déduire limf(x). x→−∞ 3. a.[Déterminer lim f(x)x]. Interpréter graphiquement ce résultat. x→+∞ b.On noteDla droite d’équationy=x. Étudier la position deCpar rapport àD. 4.Montrer que, sur l’intervalle [1 ; 0], l’équationf(x)=0 admet une unique so 2 lutionα. Donner un encadrement deα.d’amplitude 10
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L’année 2001
5.Construire la courbeCet la droiteDsur une feuille de papier millimétré (on prendra comme unité graphique 1cm sur chaque axe et on se limi tera à l’in tervalle [1,5 ; 4]). 6.On noteA1axel’aire, en cm2, de la partie du plan délimitée par la courbe l’ 2 des abscisses et les droites d’équationx=0 etx=4. On noteA2,l’aire, en cm du triangle de sommets O(0 ; 0), M (4 ; 0), N (4 ; 4). Z Z 4 4 a.Vérifier queA2=xdxet en déduire queA1A2=[f(x)x] dx. 0 0 b.DéterminerA1A2(on donnera la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au centième).
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-3
Feuille annexe à rendre avec la copie
Exercice 2 : courbe représentative de la fonctionf
Les points A, B, C et E ont des coordonnées entières.
-2
A
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 −→ 0 -1 -1
-2
-3
-4
-5
E
B
0−→ ı
1
6
C 2
3
4
5
6
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[Baccalauréat L Antilles juin 2001\
EX E R C IC E14 points er Au 1 janvier 2000, l’abonnement à Internet pour un forfait de 20 h eures était proposé par une société au tarif de 90 F par mois. er Le tarif est révisé au 1 janvier de chaque année. er On notePnle prix mensuel (non arrondi) de l’abonnement en francs, au 1 janvier de l’année (2000+n). P0est donc égal à 90. Une étude de marché envisage 3 scénarii d’évolution de ce prix. On donnera tous les résultats demandés arrondis au centime. Question 1 : Premier scénario Le prix mensuel de l’abonnement subit une diminution de 10 % chaque année. a.CalculerP1etP2. b.Exprimer le terme généralPnen fonction denet calculerP10. Question 2 : Deuxième scénario On prend comme hypothèse que la suite (Pn) est arithmétique. Calculer alorsP10sachant queP1est égal à 85. Question 3 : Troisième scénario On suppose que la suite (Pn) vérifie pour tout entier naturelnla relation suivante
Pn+1=0, 8Pn+6. a.CalculerP1etP2. b.La suite (Un) est définie pour tout entier naturelnparUn=Pn30. Montrer que (Un) est une suite géométrique de raison 0,8. c.En déduirePnen fonction denet calculerP10. Question 4 : Quel scénario conduit à l’abonnement mensuel le moins cher en 2010 ?
EX E R C IC E25 points Une urne contient 4 boules en or et 3 boules en acier indiscern ables au toucher. Un joueur tire au hasard simultanément 3 boules dans cette ur ne. Les probabilités demandées seront données sous forme de fractions irréductibles. 1.Soit O l’évènement : « le candidat tire 3 boules en or ». Déterminer la probabilitép(O) de cet évènement. 2.Dans cette question, chaque boule en or rapporte 100 F, chaque boule en acier rapporte 10 F. SoitXla variable aléatoire qui désigne le gain d’un tirage. a.Quelles sont les valeurs possibles deX? b.Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoireX. c.Calculer l’espérance mathématique E(X). Donner l’espérance de gain ar rondie au franc. 3. Dans cette question : ondre à uneSi le joueur tire 3 boules en or, il gagne 1000 F puis il doit rép question. S’il donne la bonne réponse, il double son gain sinon il repar t avec 1000 F. On estime que le candidat a 7 chances sur 10 de donner la bonne r éponse. Si le joueur ne tire pas 3 boules en or, il ne gagne rien.
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a.Calculer la probabilité pour que le candidat gagne 2000 F. 6 b.La probabilité pour que le joueur gagne 1000 F étant égale à ( on 175 ne demande pas de le vérifier), calculer l’espérance de gain d ans cette question. On arrondira le résultat au franc.
PR O B L È M E11 points Les deux tracés demandés en partie I question6.et en partie II question4.se ront effectués sur des figures séparées. On prendra un repère orthonormal, l’unité graphique étant 1 cm. Partie I On considère la fonctionfdéfinie surRpar
8x f(x)=. 2 x+4 On désigne par (C) la courbe représentative def. 1.Montrer que l’origine du repère est centre de symétrie de la courbe (C). 2. a.Déterminer la limite defen+∞. b.En déduire que la courbe (C) admet une asymptote au voisinage de+∞. c.Étudier la position de la courbe (C) par rapport à cette asymptote pour les points d’abscisses positives. 2 8(4x) 3. a.Montrer que pour tout réelxon af(x)=. 2 2 (x+4) b.Étudier le sens de variations de la fonctionfsur l’intervalle [0 ;+∞[. 4. a.Donner une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abs cisse 0. b.Montrer que pour tout réelxstrictement positif on a :f(x)<2x. c.En déduire la position de la courbe (C) par rapport à la droite (T) pour les points d’abscisse positives. 5.Déterminer les abscisses des points d’intersection de la courbe (C) et de la droite d’équationy=1 puis en donner les valeurs arrondies au centième. 6.Tracer la droite (T) et la courbe (C).
Partie II SoitFla fonction définie surRpar : Ã ! 2 x+4 F(x)=4 ln . 4 1.Calculer la limite deFen−∞et+∞. 2.Montrer queFest la primitive defqui s’annule en 0. En déduire les variations de la fonctionFsur [0 ;+∞[. 3.Montrer que l’équationF(x)=1 admet une solution uniqueαdont on don nera une approximation au centième près. 4.Construire la représentation graphique de la fonctionFsurRet placer le réel α. 5.SoitAl’aire de la surface limitée par la courbe (C), l’xe des abscisses et les droites d’équationx=0 etx=2. CalculerA, puis en donner une valeur approchée au centième près.
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EX E R C IC E14 points Lors d’une fête foraine, une loterie est organisée toutes les heures. À chaque fois, trente billets sont vendus parmi lesquels dix sont gagnants (on admet que tous les billets ont la même probabilité d’être achetés). On donnera pour chaque résultat la valeur exacte puis la valeur approchée arrondie au millième. 1.Luc achète un billet. Quelle est la probabilité que ce billet soit gagnant ? 2.Marc participe à trois loteries consécutives pour lesquelles il prend à chaque fois un billet (on admet que les loteries sont indépendantes). Quelle est la pro babilité que Marc ait au moins un billet gagnant ? 3.Pierre participe à une loterie, il achète simultanément trois billets.
a.Quelle est la probabilité que Pierre n’ait pas de billet gagnant ? b.Quelle est la probabilité que Pierre ait au moins un billet gagnant ?
4.Qui de Pierre ou de Marc a le plus de chances d’avoir au moins un billet ga gnant ? 5.La publicité annonce «Un billet sur trois est gagnant ! Achetez trois billets !» Ce texte suggère que, en achetant trois billets, on est sûr de gagner. Que pensezvous de l’énoncé de la publicité ?
Exercice 2 5 points On considère la suite définie pour tout entier naturelnpar 3 u0= − 2 2 un+1=un1 3 1. a.Calculeru1etu2. b.La suite estelle arithmétique ? géométrique ? (un)nN 2.On posev=u+est3. Démontrer que l n na suite (vn)nNune suite géomé trique ; déterminer sa raison et son premier terme. 3.Dormer l’expression devnpuis deunen fonction den. 4.En déduire la limite de la suite (u) . n nN 5.On posesn=v0+v1+ ∙ ∙ ∙ +vn1. Exprimersnen fonction denet en déduire limsn. n→+∞
PR O B L È M E11 points On prendra soin de faire figurer sur la copie les calculs intermédiaires conduisant aux résultats présentés. ³ ´ Le plan étant rapporté à un repère orthonormal O,ı,, la courbeCtracée sur la feuille annexe représente la fonctionfdéfinie surRpar
2xx f(x)=e4e2x+4.
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x 1.Déterminer la limite defen−∞et utiliser la pro(on pourra factoriser e x priété limxe=0). x→−∞ 2. a.Déterminer la limite defen+∞. b.Soit la droiteΔd’équationy= −2x+4. Tracer la droiteΔsur la feuille an nexe, qui sera remise avec la copie, et montrer queΔest une asymptote à la courbeC. c.Calculer les coordonnées de A, point d’intersection deCet deΔ. Déterminer la position relative deCet deΔ. ′ −x2 3.Montrer quef(x)= −2 (e1) . En déduire le sens de variation defsurR. 4.Montrer que l’équationf(x)=0 admet sur l’intervalle [1 ; 2] une unique solu tionα. Soit K le point de la courbe qui a pour abscisseα; placer ce point sur la figure. 5. a.Déterminer une équation de la tangente D au point B d’abscisse 0. b.Déterminer les coordonnées du point E deCà la courbeoù la tangente D est parallèle à la droiteΔ. c.Placer les points B et E sur la feuille annexe et construire les droites D et D . 6.Soitgla fonction définie pour tout réelxpar
g(x)= −2x+4f(x). Z 0 Calculer l’intégraleg(x) dx. Donner une interprétation graphique de ce ln 4 résultat en illustrant la réponse à l’aide de la feuille annexe.
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Feuille annexe à rendre avec la feuille
Problème : courbe représentative de la fonctionf.
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1 −→ 0 -1O0−→ ı -1
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-5
-6
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Un pour Un
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