Physique 2006 Classe Prepa ATS Concours ATS (Adaptation Technicien Supérieur)

Gaël Richard

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Concours du Supérieur Concours ATS (Adaptation Technicien Supérieur). Sujet de Physique 2006. Retrouvez le corrigé Physique 2006 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Physique
• 2006

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 juin 2008
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• Langue: Français

Extrait

PREMIER PROBLÈME

1- Oscillations d’une barre sur des rails A-Une barre de massempeut glisser sans frottements sur deux rails parallèles. Les deux rails et la barre forment un plan horizontal. Les seuls mouvements possibles de la barre sont des translations rectilignes parallèlement à la direction des rails notéeOx. La barre est liée à un ressort de raideurk. L’origine des abscisses est choisie lorsque le ressort est au repos. 2 On poseω=k m. À l’instant initial, on lâche la barre sans vitesse initiale à l’abscisse a 0 avec a>0 .

k

l

1.1 Déterminerl’équation différentielle du mouvement par l’application du principe fondamental de la dynamique. 1.2 Déterminerl’expression de l’abscisse de la barre en fonction du temps. 1.3 Déterminerl’expression de l’énergie mécanique en fonction du temps. 1.4 Montrer,qu’en moyenne sur une période, l’énergie cinétique est égale à l’énergie potentielle. B-On reprend le problème précédent mais, cette fois, on suppose que la barre subit une force JG GG de frottements visqueux F= −αv où v est le vecteur vitesse de la barre et α un coefficient 2 positif. On poseω=k met2λ=αm. 0 1.5 Établirl’équation différentielle du mouvement. 1.6 Onsupposeλω. Déterminer l’expression de l’abscissexde la barre en fonction du 0 tempst. 1.7 Représenterl’allure du graphe dexen fonction det. 1.8 Lacondition précédente étant toujours vérifiée, montrer que l’énergie mécanique moyenne sur une pseudo-période peut se mettre sous la forme approchée : t − 1 2 τ E=ka e. M 2  Ondonnera l’expression de τ . 2- Rails de Laplace La barre de massemglisser sans frottements sur des rails parallèles, distants de peutl, disposés comme précédemment.Il n’y a plus de ressort. Enx= 0 , les rails sont reliés par un conducteur. L’ensemble des rails, de la barre et du conducteur forme donc un circuit fermé. La résistance électrique de ce circuit est représentée par une résistance constanteRlocalisée sur le conducteur reliant les deux rails (cf. figure)L’ensemble est plongé dans un champ G magnétique stationnaire et uniforme. On définit un sens de circulation positive sur le circuit comme indiqué sur la figure. Si un courant parcourt le circuit, l’intensité sera comptée

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positivement si et seulement si le courant circule effectivement dans le sens positif choisi. On néglige entièrement les phénomènes d’auto-induction. A-La barre est lancée avec la vitesse initialevdans le sens desxcroissants. Soitv=  xla 0 vitesse de la barre à un instantt. G

+

l

2.1 Enappliquant la loi de Lenz-Faraday, déterminer l’expression de la f.é.m. induite dans le circuit à un instanttquelconque en fonction dev,Betl. 2.2 Sila barre est parcourue par un courant d’intensitéi, comptée algébriquement, déterminer la composante selonOxde la force de Laplace subie par la barre. 2.3 Faireun schéma électrique équivalent et en déduire l’équation électrique du circuit. 2.4 Déterminerl’équation mécanique par application du principe fondamental de la dynamique. 2.5 Endéduire l’équation différentielle vérifiée par la vitessevde la barre. On posera : mR τ= . 2 2 l 2.6 Résoudrecomplètement cette équation et tracer le graphe deven fonction det. 2.7 Multiplierchaque membre de l’équation électrique pariet chaque membre de l’équation mécanique parv. En déduire un bilan de puissance. 2.8 Quedevient l’énergie cinétique initiale de la barre ? B-On reprend le problème précédent mais on rajoute sur le conducteur reliant les deux rails, un générateur idéal de tension de f.é.m. constanteE (cf.figure). La barre est cette fois initialement immobile. G

+

l

2.9 Écrirel’équation électrique du circuit et l’équation mécanique. 2.10 Endéduire l’expression de la vitesse de la barre en fonction du temps. On pourra utiliser dans les expressions la constante τ définie au 2.5. 2.11 Tracerl’allure du graphe deven fonction det 2.12 Déterminerl’intensitéidans le circuit en fonction detet tracer le graphe correspondant. 2.13 Faireun bilan de puissance comme au 2.7. À quoi est utilisée la puissance fournie par le générateur ?

2

3- Oscillations d’une barre plongée dans un champ magnétique On reprend le dispositif du2-Amais maintenant la barre est reliée à un ressort de raideurk. L’origine des abscisses est prise lorsque le ressort est au repos. À l’instant initial, l’abscisse de la barre est égale àa (aveca>0) et la barre est lâchée sans vitesse initiale. La barre peut glisser sans frottement sur les rails. G

+

l

3.1 Écrirel’équation électrique et l’équation mécanique. En déduire l’équation différentielle vérifiée par l’abscissexde la barre. On posera : 2 k mR ω=et τ= . 0 2 2 m l 3.2 Résoudrecomplètement cette équation siω τ1 . 0 3.3 Tracerl’allure du graphe dexen fonction du tempst. 3.4 Faireun bilan de puissance. Justifier l’égalité suivante : +∞ 1 2 2 idt=ka. ∫ 2 t=0 4- Oscillations de deux barres plongées dans un champ magnétique Deux barres parallèles et identiques, de même massem, peuvent glisser sans frottement sur deux rails, parallèles, distants del. L’ensemble des rails et des barres est dans un même plan horizontal. Les seuls mouvements possibles des barres sont des translations rectilignes parallèles à la directionOx desrails. L’ensemble est plongé dans un champ magnétique G stationnaire et uniforme. Les deux barres et les tronçons de rails situés entre les barres forment un circuit fermé. Ce circuit fermé possède une résistance électriqueR (non représentée sur le schéma ci-dessous) qui sera supposée constante quelle que soit la position des barres. On définit un sens de circulation positive sur ce circuit comme indiqué sur le schéma. Chacune des barres est liée à un ressort de raideurk. La position de la barre 1 est repérée par son abscisse, comptée à partir de la position pour laquelle le ressort auquel elle est liée est 1 au repos. De même, la position de la barre 2 est repérée par son abscisse, comptée à partir 2 de la position pour laquelle le ressort auquel elle est liée est au repos. On se reportera à la figure ci-dessous.

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À l’instant initial, les deux barres sont lâchées sans vitesse initiale aux positions ( 0 ) =a, 1 avec a>0 , et x ( 0 ) =0 . 2 G

Barre 1

+

Barre 2

l

4.1 Écrirel’équation électrique du circuit. 4.2 Appliquerle principe fondamental de la dynamique à chacune des barres et en déduire deux équations mécaniques. 4.3 Déduirede ce qui précède le système d’équations différentielles vérifié paret .On 1 2 k mR 2 poseraω=et τ= . 0 2 2 m l 4.4 Onpose=x+xetY=x−x. Déterminer l’équation différentielle vérifiée parXet 1 21 2 l’équation différentielle vérifiée parY. 4.5 Quelleest la limite deYquandt→ ∞? En déduire au bout d’un tempstrès long: – lesexpressions deet enfonction detet la nature du mouvement des 1 2 deux barres ; – l’intensitéi.

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SECOND PROBLÈME

LE CONDENSATEUR On étudie un condensateur plan. Ce condensateur est supposé idéal, c’est-à-dire qu’on néglige tout effet de bord. Les armatures ont la forme de disque d’axeOzet de rayona. L’armature 1 est située en z=0  etl’armature 2 en z=e . On repère un point de l’espace par ses G G G coordonnées cylindriques ( r,θ,z ) . On notera ( u,u,u )  labase correspondante. On se rθz reportera aux figures ci-dessous. L’espace entre les armatures est défini par0<z<e et 0<r<a . Le milieu entre les armatures est assimilable au vide (permittivitéε et 0 perméabilité µ). 0

Armature 2 e

Armature 1 O

G G u θ u r M r θ ● O a

vue de dessus

5- Électrostatique On se place en régime stationnaire. L’armature 1 porte la charge positiveQet l’armature 2 la charge négative−Q. Le condensateur plan étant supposé idéal, la charge surfacique est uniforme sur une armature ( σ sur l’armature 1 et −σ sur l’armature 2). 5.1 Exprimerla charge surfacique σ . 5.2 Donnerl’expression du champ électrostatique entre les armatures en fonction de σ ,ε 0 G etu. 5.3 Déterminerla différence de potentiel entre les armaturesU=V−V oùVle est 1 21 potentiel de l’armature 1 etVle potentiel de l’armature 2. 2 5.4 Définiret exprimer la capacitéC dece condensateur en fonction deε,e etS oùS 0 2 représente la surface d’une armature (S=πa). 5.5 Exprimerl’énergie potentielle W du condensateur en fonction du champ électrostatique E, deS,e etε. Retrouver ainsi sur cet exemple l’expression de la densité volumique 0 d’énergie électriqueu. e

5

6- Charge du condensateur Le condensateur précédent étant initialement déchargé ( Q ( t=0 ) =0 ) , on le charge à l’aide du générateur idéal de tension de f.é.m. constanteU. On noteRla résistance du circuit. On 0 se reportera au schéma ci-dessous pour les orientations. i(t)

U 0

Q(t 1) ) (armature C U − Q(t) (armature 2)

A-Champ électrique 6.1 Déterminerla loi d’évolution de la chargeQen fonction du tempst. On fera intervenir dans cette expression la capacitéCdu condensateur,Uet la constanteτ=C. 0 6.2 Tracerl’allure du graphe deQen fonction det. À quoi est homogène la constanteτ? 6.3 Déterminer,en fonction deC etU, pendant la durée de la charge (c’est-à-dire entre 0 t=0 ettinfini) : – l’énergieWfournie par le générateur ; 1 – l’énergieWemmagasinée par le condensateur ; 2 – l’énergieWdissipée par effet Joule. 3 6.4 Onsuppose que la chargeQsuffisamment lentement pour que l’expression du varie champ électrique soit la même que celle obtenue en électrostatique à la question 5.2. Le G champ électriqueE ( t ) s’exprime donc en fonction de la charge surfacique instantanée σ ( t ) même instant autla même relation qu’en régime stationnaire. Écrire, en selon fonction det,ε,U,eet τ , la densité surfacique de charge σ ( t ) et le champ électrique 0 0 G E ( t ) . B- Courant de déplacement G JJ G G G ∂E 6.5 Onrappelle l’équation de Maxwell-Ampère :rotB=µj+εOn appelle densitéµ . 0 00 ∂t G G ∂E 2 de courant de déplacement :j=ε. On rappelle aussi l’égalité : εµc=1 . D 00 0 ∂t Écrire l’équation de Maxwell-Ampère dans le cas particulier de l’espace entre les G armatures du condensateur. Exprimer la densité de courant de déplacementj en fonction det,U,e, τ etε. 0 0 6.6 Écrirela forme intégrale de l’équation de Maxwell-Ampère. Montrer qu’elle correspond à un théorème d’Ampère généralisé à condition d’inclure dans l’intensité enlacée le flux du courant de déplacement. C- Magnétostatique 6.7 Pourdéterminer le champ magnétique entre les armatures du condensateur, on étudie d’abord le dispositif suivant: un conducteur cylindrique infini, d’axeOz (vecteur G unitaireu) et de rayona, est parcouru par un courant stationnaire de densité uniforme G G G j = ju. En étudiant les symétries du problème montrer que le champ magnétique

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créé par cette distribution de courant est orthoradial et ne dépend que der, c’est-à-dire G que peuts’écrire sous la forme : G G =B ( r ) u. θ 6.8 Enappliquant le théorème d’Ampère, déterminer complètement le champ magnétique en fonction deµ ,jetrpour r<a . 0 D- Champ magnétique 6.9 Onrevient au condensateur. À partir de la question 6.6, et en s’inspirant de la question 6.8, montrer que le champ magnétique entre les armatures s’écrit pour r<a : t G − U r G 0 τ =eu. θ 2 2τec E- Puissance rayonnée 6.10 Rappelerla définition du vecteur de Poynting. 6.11 Montrerque le vecteur de Poynting enr=a(à la limite de l’espace entre les armatures) peut s’écrire : 2t t 2 JG  − −  εU aG 0 0 τ τ Π ( r=a,t ) = e−e  u . r 2   2eτ   6.12 Endéduire la puissance rayonnéesortantde l’espace entre les armatures. 6.13 Déterminer alors l’énergie électromagnétique qui estentréedans l’espace compris entre les armatures pendant la charge du condensateur (c’est-à-dire entret=0 ett infini). Comparer avec l’énergie emmagasinée par le condensateur obtenue à la question 6.3.

7- Condensateur en régime sinusoïdal permanent Le condensateur précédent est relié à un générateur idéal de tension délivrant une f.é.m. sinusoïdale. La charge Q ( t ) portée par l’armature 1 varie donc sinusoïdalement selon la loi Q=Qcos ( ωt ) . L’armature 2 porte une charge opposée. La charge se répartit encore 0 uniformément sur les armatures. On suppose que les variations temporelles sont suffisamment lentes pour que le champ électrique entre les armatures conserve la même expression qu’en régime stationnaire. 7.1 Exprimerle champ électrique entre les armatures en fonction deQ, ω ,ε,aett. 0 0 7.2 Déterminerle champ magnétique entre les armatures (par la même méthode qu’à la G question 6.9). On exprimeraen fonction deQ,ω, µ,a,rett. 0 0 7.3 Rappelerla définition de la densité volumique d’énergie électromagnétiqueu, de la em densité volumique d’énergie magnétiqueu etde la densité volumique d’énergie m électriqueu. e 7.4 Montrerque le rapport de la densité volumique moyenne d’énergie magnétique sur la densité volumique moyenne d’énergie électrique s’écrit : 2 2 u ωr m = . 2 u 4c e 7.5 Endéduire que sia c esttrès petit devant la périodeT=2π ω, la densité moyenne d’énergie électromagnétique se confond avec la densité moyenne d’énergie électrique. Si a=3 cm, dans quel domaine de fréquence la condition précédente est-elle vérifiée (on 8 -1 rappelle que c=3.10 m.s Cette condition est-elle vérifiée dans les montages) ? usuels ? Que représente physiquement la durée a c ?

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