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Polytechnique X 1999 premiere composition de mathematiques classe prepa pc

4 pages
ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D’ADMISSION 1999 FILIÈRE Pc PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. *** On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. *** Notations Pour tout entier n 2 1, on munit Rn du produit scalaire canonique, noté ( ), et de la norme 1 euclidienne associée, notée 11 11. On désigne par S, l’ensemble des matrices carrées symétriques, à n lignes et n colonnes, à coefficients réels. On identifie une matrice M E S, à une application linéaire de IRn dans Rn, et Mx désigne l’image par M d’un élément x de Rn. On dit que M E S, est, positive si, pour tout x dans IRn, (Mxlx) 2 O. On dit que M E S, est définie positive si, pour tout LC non nul dans R”, (Mxlx) > O. Première partie : propriétés des matrices symétriques On considère une matrice symétrique M E S, et l’on pose, pour tout x dans Rn, qnn(4 = (M.1.) . Soit S = {x E Rn 1 Ilxll = l} la sphère unité de Rn. 1. Montrer que la restriction à S de la fonction qM est bornée et atteint sa borne inférieure Q = inf qM(x) et sa borne supérieure ,O = sup qM(x). Il~//=l /lx/l=~ 2. Soient XI,. . . , les valeurs propres de M. On pose Amin(M) = inf XI, , = sup AI, &{l, ... ,n} &{l, ... p} Montrer que Q = Xmin(M) et que ,O = Amm(M). X,,(M) A, 3. Déduire de la question 2. les équivalences ...
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