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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 2002
FILIÈREPC
DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.   
Ce problème a pour but principal l’étude des coefficients diagonaux des diverses matrices semblables à une matrice donnée.
On désigne parnun entier2, parMn(R)l’espace des matrices à coefficients réels, àn lignes etncolonnes, et parIla matrice identité; on appellescalairesles matrices de la forme λIλest un réel. On rappelle que deux matricesAetBsont ditessemblabless’il existe 1 une matrice inversibleQvérifiantB=Q A Q, c’est-à-dire siAetBreprésentent un même n n endomorphisme deRdans deux bases deR.
Première partie
1.Démontrer les assertions suivantes :
n a)Si une matriceAest non scalaire, il existe un vecteurXdeR, non nul et non vecteur propre pourA.
b)SoitAMn(R), ietj∈ {1, . . ., n}. Il existe une matriceBsemblable àAtelle que
bi,i=aj,j, bj,j=ai,i, bk,k=ak,k
pour toutk=.i, j
Deuxième partie
2.On se donne une matriceAdeMn(R)de trace nulle et on se propose de démontrer qu’il existe une matriceBsemblable àAayant tous ses coefficients diagonaux nuls.
n a)Montrer que siAest non nulle, il existe une base(X1, X, . . .n)deRtelle que AX1=X2.
b)Conclure en procédant par récurrence surn.
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