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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D’ADMISSION 2009
MP FILIÈRE
PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. ? ? ?
Exponentielles d’endomorphisme, intégrales et séries
Première partie
∞ ∞ On désigne parC(R)l’espace vectoriel des fonctions réelles, de classeC, d’une variable réelle. On définit comme suit des endomorphismes de cet espace :
∞ 00 pour toutefC(R),(Xf)(x) =xf(x),(Df)(x) =f(x),(Af)(x) =xf(x),
t pour tout nombre réeltet pour toutefC(R),tf)(x) =f(e x).
1.Vérifier que la valeur ent= 0de la dérivée de la fonctiont7→tf)(x)est égale à(Af)(x). On va maintenant étudier les puissances deAet chercher le sens à donner à la formule exp(tA) = Φt. n X t n 2.Vérifier que, sifest un polynôme, la série(A f)(x)est convergente et de somme n! n>0 tf)(x).
n nn1 3.Montrer que, pour tout entiern >0, on aD X=XD+nD.
4.Montrer que, pour tout entiern >0, il existe des nombres réels positifsµn,k, k= 1, n, . . ., n X n kk tels queA=µn,kX D, et exprimerµn,ken fonction desµn1,p, p= 1, . . ., n1. k=1 Préciser les valeurs deµn,1etµn,n.
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