propos d'un théorème de Tchebychev sur la répartition des nombres premiers

Adrien - Marie Legendre

Description

Niveau: Supérieur, Bac+5
À propos d'un théorème de Tchebychev sur la répartition des nombres premiers Introduction Étant donné un entier naturel n, on considère pi(n) le nombre de nombres pre- miers compris entre 0 et n. Ce sujet s'intéresse au comportement de la suite (pi(n))n. Il est composé de deux grandes parties A et B. La partie A vise à établir l'encadrement suivant : (ln 2) n lnn 6 pi(n) 6 e n lnn valable pour tout n > 3. Elle est composée de deux sous-parties, A.I et A.II, consa- crées respectivement à la minoration et à la majoration annoncées. Ce genre d'encadrement suggère l'existence d'un lien asymptotique fort entre les suites (pi(n))n et ( n lnn ) n . La partie B s'intéresse à cette question puisque son objectif principal est de montrer le résultat suivant : Théorème.— (Tchebychev 1) S'il existe un réel c > 0 telle que pi(n) ? n c n lnn alors nécessairement c = 1. Elle est composée de quatre sous-parties B.I, B.II, B.III et B.IV. C'est dans la par- tie B.III qu'on établit le théorème annoncé.

• inégalité


• lien asymptotique


• propriétés élémentaires


• lnn0


• entier


• inégalité de la question précédente


• ln lnn0

Sujets

• Mertens
• Legendre
• Inégalité
• Entier relatif

Informations

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Extrait

à propos d’un thÉorÈme de Tchebychev sur la rÉpartition des nombres premiers

Introduction Ètant donn un entier natureln, on considreπ(n)le nombre de nombres pre- miers compris entre0etn. Ce sujet s’intresse au comportement de la suite(π(n)) n . Il est compos de deux grandes parties A et B. La partie A vise á tablir l’encadrement suivant : n n (ln 2)6π(n)6e lnnlnn valable pour toutn>3. Elle est compose de deux sous-parties, A.I et A.II, consa- cres respectivement á la minoration et á la majoration annonces. Ce genre d’encadrement suggre l’existence d’un lien asymptotique fort entre   n les suites(π(n)) n La partie B s’intresse á cette question puisque sonet . lnn n objectif principal est de montrer le rsultat suivant : n 1 Thorme.—(Tchebychev )S’il existe un rÉelc >0telle queπ(n) ∼ calors n lnn nÉcessairementc= 1. Elle est compose de quatre sous-parties B.I, B.II, B.III et B.IV. C’est dans la par- tie B.III qu’on tablit le thorme annonc. La preuve qu’on en propose repose sur  ! X 1 l’tude du comportement asymptotique de la suite . Cette tude est p ppremier6n n ralise au dbut de la partie B.III. Les parties B.I et B.II sont consacres á l’ta- blissement de formules importantes pour la suite. Dans la partie B.I on tablit une 2 formule due á Legendre qui donne l’expression de lavaluationp-adiqueden!. Dans 3 la partie B.II on dmontre un thorme de Mertens qui prcise le comportement  ! X lnp asymptotique de la suite . La partie B.IV est une application de p ppremier6n n la formule asymptotique trouve dans la partie B.III. On y tudie ladensitÉde l’ensemble des entiers possdant degrands facteurs premiers. â la fin du sujet, une note documentaire met en perspective, d’un point de vue historique, le thorme de Tchebychev dmontr ici. Sa lecture n’est pas essentielle au bon traitement du sujet. Les parties de ce problme ne sont pas indpendantes entre elles.

1 Pafnouti Lvovitch Tchebychev, mathÉmaticien russe, Okatovo 1821 – Saint-PÉtersbourg 1894. 2 Adrien-Marie Legendre, mathÉmaticien franÇais, Paris 1752 – Auteuil 1833. 3 Franz Mertens, mathÉmaticien autrichien, 1840 – 1927.

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Notations et rappels •On notePl’ensemble des nombres premiers positifs. •SiEdsigne un ensemble fini, on note#Elecardinalde cet ensemble, c’est-á-dire le nombre d’lments deE. •Si(u n ) n et(v n ) n dsignent deux suites numriques, on noterau n ∼ v n pour dire n que ces suites sontÉquivalentes. On noterau n =o(v n )pour dire que la suite(u n ) n estnÉgligeabledevant la suite(v n ) n et enfin, on noterau n =O(v n )pour dire que la suite(u n ) n estdominÉepar la suite(v n ) n , c’est-á-dire, qu’il existe un relcet un entiern 0 tels que pour toutn>n 0 on ait|u n |6c|v n |. •Sixdsigne un rel, on notera[x]sapartie entiÈre, c’est-á-dire le plus grand entier infrieur ou gal áx; autrement dit,[x]est l’unique lment deZvrifiant :

[x]6x <[x] + 1.

•On rappelle que siaetbsont deux entiers tels que06b6a, le coefficient   a a ! binomial est gal á . b(a−b)!b! •Pour tout entiern>0, on noteπ(n)le nombre de nombres premiers compris dans l’intervalle[0, n]; ainsi on aπ(0) =π(1) = 0,π(2) = 1,π(3) = 2,π(4) = 2, etc. Pour tout entiern>1, on noteδ(n) =π(n)−π(n−1), de sorte que si l’on pose δ(0) = 0, on voit queδest la fonction caractristique dePdansN(c’est-á-dire,δ(n) vaut1sinest premier, et0sinon). •Dans tout ce texte la lettrepdsignera toujours et exclusivement un nombre premier, ceci y compris lorsque la lettrepsera utilise comme symbole X 1 d’indice d’une somme ou d’un produit. Par exemple, la notation dsigne la p p6x somme des inverses des nombres premierspinfrieurs ou gaux au relx. •Ètant donns un entiern>1et un nombre premierp, on appellevaluationp- adiquedenl’entier notv p (n)et gal á l’exposant depdans la dcomposition en 2 facteurs premiers den. Par exemple, si l’on prendn= 350 = 2∙5∙7on av 2 (350) = 1, v 3 (350) = 0,v 5 (350) = 2,v 7 (350) = 1etv p (350) = 0pour tout nombre premier p>11. On admet les proprits lmentaires suivantes : k k+1 a)v p (n)est l’entierktel quepdivisenetpne divise pasn. b) Pour toutn>1fix, la suite(v p (n)) p∈P est nulle á partir d’un certain rang, Y v p (n) de sorte que l’on peut criren=p(ce produit pouvant alors tre considr p∈P comme un produit fini). Cette criture n’est alors rien d’autre que la dcompostion en facteurs premiers de l’entiern. c) Pour tousn, mentiers naturels non nuls et toutp∈ P, on a

v p (nm) =v p (n) +v p (m)

Aucune preuve de ces trois rÉsultatsn’est demande aux candidats.

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A. Une estimation À la Tchebychev

I. Une minoration de la fonctionπ

On considre, pour tout entiern>1, l’entierΔ n = ppcm(1,2, . . . , n). Dans cette partie nous allons tablir une minoration deΔ n . Nous en dduirons ensuite une minoration deπ(n). On considrea, b∈Nvrifiant16b6aet l’on pose : Z 1 b−1a−b I(b, a) =x(1−x) dx. 0

A.I.1. A.I.1.a.ExpliciterI(1, a)en fonction dea. b A.I.1.b.Montrer que sib < aalorsI(b+ 1, a) =I(b, a). a−b 1 A.I.1.c.En dduire queI(b, a) =   . a b b

A.I.2.On se propose dans cette question de donner une autre mthode pour calculer I(b, a). On considre un rely∈[0,1[. A.I.2.a.En dveloppant á l’aide de la formule du binÔme de Newton, montrer que : Z a   1 X a−1 a−1k−1 (1−x+xy) dx=y I(k, a) 0 k−1 k=1

A.I.2.b.En calculant maintenant directement l’intgrale, montrer que : Z a 1 X 1 a−1k−1 (1−x+xy) dx=y 0 a k=1

1 1 A.I.2.c.En dduire queI(b, a) =   =   . a a −1 b a b b −1

A.I.3. P   a−b k a−b 1 A.I.3.a.Montrer queI(b, a() = −1). k=0 k k+b A.I.3.b.En dduire queI(b, a)Δ a ∈N.   a A.I.3.c.Prouver que l’entierbdivise l’entierΔ a . b

A.I.4.Soitn>1un entier.     2n2n A.I.4.a.Montrer que les entiersnet(2n+ 1)divisent l’entierΔ 2n+1 . n n (Indication : On remarquera que pour toutk>1,Δ k diviseΔ k+1 .)   2n A.I.4.b.En dduire que l’entiern(2n+ 1)diviseΔ 2n+1 . n (Indication : On remarquera que les entiersnet2n+ 1sont toujours premiers entre eux.)     2n2n A.I.4.c.Montrer que pour toutk∈ {0, . . . ,2n}on a l’ingalit6. k n

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  2n n A.I.4.d.En dduire que(2n+ 1)>4. n n2n (Indication : On dveloppera l’galit4 = (1 + 1).) n A.I.4.e.En dduire queΔ 2n+1 >n4. n A.I.4.f.Montrer que sin>9alorsΔ n >2et vrifier que cette ingalit est encore vraie pourn= 7et8.

A.I.5.Soitn>1un entier. v p (Δ n ) A.I.5.a.Soitp∈ P, montrer quep6n. (Indication : On commencera par exprimerv p (Δ n )en fonction des entiers v p (1), . . . , v p (n).) Y v p (Δ n ) A.I.5.b.Montrer queΔ n =p. p6n π(n) A.I.5.c.En dduire queΔ n 6n.

A.I.6. A.I.6.a.Montrer que pour toutn>7on a n π(n)>(ln 2). lnn A.I.6.b.Pour quels entiersn∈ {2,3,4,5,6}l’ingalit de la question prcdente est-elle encore vraie ?

II. Une majoration de la fonctionπ Y A.II.1.On cherche dans cette question á majorer simplement le produitpen p6n fonction de l’entiern>1. b A.II.1.a.Soientaetbdeux entiers tels que0<6a < b. Montrer que le produit 2 Q   b pdivise l’entier (le produit considr est suppos tre gal á1dans a a<p6b le cas oÙ il n’y aurait pas de nombre premierpdans l’intervalle]a, b]). Q A.II.1.b.En dduire que pour toutm>1, le produitpdivise l’entier m+1<p62m+1   2m+1 . m+1     2m+1 2m+1 A.II.1.c.Comparer, pourm>1, les entiers et . m m+1   2m+1 m A.II.1.d.En dduire que pour tout entierm>1on a64. m 2m+1 (Indication : On dveloppera la quantit(1 + 1).) Q m A.II.1.e.Montrer que pour tout entierm>1, on ap64. m+1<p62m+1 A.II.1.f.Prouver finalement que pour tout entiern>1, on a Y n p64. p6n (Indication : On pourra montrer par rcurrence, pourn>1, la propritP n : Y k pour toutk∈ {1, . . . ,2n}on ap64.) p6k

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A.II.2.   m m A.II.2.a.Montrer que pour tout entierm>1on am!>. e (Indication : On pourra penser au dveloppement en srie entire de la fonction exponentielle.) n A.II.2.b.Dduire de ce qui prcde que, pour toutn>2, on aπ(n)!64et que par suite, on a π(n) lnπ(n)−π(n)6nln 4

A.II.3.On souhaite montrer, á partir du rsultat prcdent, que pour toutn>3 on a n π(n)6e lnn Pour cela on raisonne par l’absurde, en supposant qu’il existe un entiern 0 >3 n 0 tel queπ(n 0 )>e. lnn 0 A.II.3.a.Montrer que la fonctionx7→xlnx−xest strictement croissante sur [1,+∞[. En dduire que e−ln 4 ln lnn 0 < e lnn 0 lnx −1 A.II.3.b.Montrer que la fonctionx7→est majore par e sur[1,+∞[. x Conclure.

B. Autour d’un thÉorÈme de Mertens

I. Une formule de Legendre sur la valuationp-adique den!

On considre un entiern>2et un nombre premierp. Pour tout entierk>0, on considre les sous-ensembles finisU k ,V k etΩ k deNdfinis par k U k ={a∈ {1, . . . , n} |pdivisea} k V k ={a∈ {1, . . . , n} |pne divise pasa} Ω k ={a∈ {1, . . . , n} |v p (a) =k}

k 0 B.I.1.Justifier qu’il existe un plus petit entierk 0 >0tel quen < p. Montrer que k 0 >1et expliciterk 0 en fonction denetp.

B.I.2. B.I.2.a.Montrer que, pour toutk∈ {0, . . . , k 0 −1}, l’ensembleU k+1 est strictement inclus dansU k et que pourk>k 0 on aU k =∅. B.I.2.b.Montrer que, pour toutk∈ {0, . . . , k 0 −1}, l’ensembleV k est strictement inclus dansV k+1 et que pourk>k 0 on aV k ={1, . . . , n}. B.I.2.c.Prouver que la famille de parties{Ω 0 , . . . ,Ω k 0 −1 }forme une partition de l’ensemble{1, . . . , n}.

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B.I.3. B.I.3.a.Pour toutk>0, tablir queΩ k =U k ∩V k+1 . B.I.3.b.Calculer, pour toutk>0,#U k et#V k puis#Ω k en fonction den, p. P B.I.4.Montrer quev p (n!) =k#Ω k et en dduire que k>0   X n v p (n!) = k p k>1

(formule de Legendre)

II. Un thÉorÈme de Mertens

Dans toute cette partieII, on considre un entiern>2.

B.II.1.Prouver que pour toutp∈ Pon a n n n −1< v p (n!)6+ p p p(p−1) (Indication : On pourra utiliser l’encadrementx−1<[x]6xvalable pour tout relxet la formule de Legendre.)

B.II.2.En dduire que X X X X lnplnplnp n−lnp <lnn!6n+n p p p(p−1) p6n p6n p6n p6n Q v p (n!) (Indication : On pourra commencer par montrer quen! =p.) p6n

B.II.3.Dans cette question on tablit plusieurs majorations techniques utiles aux deux questions suivantes. +∞ P P r r B.II.3.a.Montrer la convergence de la srie r et prouver que r = 2. 2 2 r=1 P k x (Indication : On pourra s’intresser á la srie entire k ainsi qu’á sa srie 2 k>0 drive.) P 1 B.II.3.b.Calculer pour tout entierr>1la somme finie . En d- m(m−1) r−1r 2<m62 P lnm r duire que si l’on poseU r =alors on aU r 6 r ln 2. m(m−1) 2 r−1r 2<m62 +∞ P P B.II.3.c.Montrer que la srieU r converge. Donner un majorant deU r . r=1 P lnm B.II.3.d.est convergente et que l’on a :En dduire que la srie m(m−1)

+∞ X lnm 6ln 4. m(m−1) m=2

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    1 1 1 1 B.II.3.e.Montrer que l’ on a :1−6nln 1 +61etln 1 +>. 2nn n 2n (Indication : On commencera par dterminer pour quels relsuon a les inga- 2 litsu−u /26ln(1 +u)6u.) B.II.3.f.En dduire, par rcurrence surn, qu’ il existe un relθ n ∈[0,1]tel que :

lnn! =nlnn−n+ 1 +θ n lnn.

B.II.4.Prouver, en utilisant les rsultats des questions B.II.2 et B.II.3, que : X lnp lnn−(1 + ln 4)< . p p6n

B.II.5.De mme, en utilisant les questions B.II.2, B.II.3 et A.II.1.f, montrer que : X lnp <lnn+ ln 4. p p6n

En dduire que

(thorme de Mertens).

X lnp = lnn+O(1) p p6n

  P 1 III. Le comportement asymptotique de p p6n n

B.III.1.Dans cette question on tablit des rsultats prliminaires utiles pour la suite. P P 1 1 B.III.1.a.Montrer que la srie 2 estest convergente, que la srie nln n nlnn divergente et qu’on a n−1 X 1 = ln lnn+O(1) klnk k=2

(Indication : On comparera les sries considres avec les intgrales gnralises R R +∞+∞ dt dt 2 et .) 2 tlnt 2 tlnt n−1 P 1 B.III.1.b.On considre la suite(u n ) n>3 dfinie paru n =−ln lnn. Montrer klnk k=2 que   1 1 u n+1 −u n = +o . 2 2 2nlnn nlnn B.III.1.c.En dduire qu’il existe un rel`tel que

n−1 X 1 = ln lnn+`+o(1). klnk k=2

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P lnp B.III.2.On note(ψ(n))la suite dfinie parψ(n) =. On considre un n>2 p p6n entiern>3. P P 1 n−1 ln(1+1 /k)ψ(n) B.III.2.a.Montrer que=ψ(k) +. p k=2 ln kln(k+1) lnn p6n n P P 1 δ(k) lnk 1 (Indication : On pourra remarquer que=.oÙδest la fonc- p klnk p6n k =2 tion caractristique deP, puis utiliser la transformation d’Abel sous la forme suivante : si(a n ) n>1 ,(b n ) n>1 sont deux suites numriques et si pourn>1on n P poseA n =a k , alors pour toutN>2, on a k=1 N N−1 X X a n b n =A N b N +A n (b n −b n+1 ) ) n=1n=1 B.III.2.b.Prouver, en utilisant le thorme de Mertens, que :   ln(1 + 1/k1) 1 ψ(k) = +O 2 lnkln(k+ 1)klnk k lnk ln(1+1/k) (Indication : On commencera par crire la fraction sous la forme lnkln(k+1) 1 t(k) , oÙt(k)est une suite qu’on dterminera. On montrera ensuite que lnk1+t(k)   t(k) 1 1 1 =− 2 +o 2 .) 1+t(k)klnk2klnk klnk

B.III.3.Dduire de ce qui prcde qu’il existe une constanteλ∈Rtelle que X 1 = ln lnn+λ+o(1). p p6n P P n−1 π(k)π(n) 1 B.III.4.Montrer que pour toutn>2on a= +. En dduire p k=1 k(k+1)n p6n n que s’il existe une constante rellectelle queπ(n) ∼ calorsc= 1(thorme lnn n de Tchebychev).

IV. Une application À l’Étude des entiers possÉdant de grands facteurs premiers

+ Ètant donn un entiern>2, on noteP(n)le plus grand facteur premier ap- + paraissant dans la dcomposition en facteurs premiers den. Par exemple,P(50) = + 2 P(2∙5 ) = 5. On s’intresse dans cette question á l’ensembleAconstitu des en- √ + tiersn>2vrifiantP(n)> n(c’est ce qu’on entend parentiers possÉdant de grands facteurs premiersdans le titre de cette partie). L’objectif de cette partie est de montrer que l’ensembleApossde unedensitÉvalantln 2. En d’autres termes, si pour un relx>2on poseA(x) =A∩[0, x]eta(x) = #A(x)le cardinal deA(x),   a(n) nous allons montrer que la suite possde une limite (on dira alors queA n n possde unedensitÉ) et que cette limite vautln 2(qui sera donc appele ladensitÉde A). Ce rsultat signifiera que, « moralement », il y a une proportion deln 2≈0,69 d’entiers dansNqui possdent de grands facteurs premiers.

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