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BaccalauréatESAmériqueduSudnovembre2003
EXERCICE 1 5points
PartieA
Lecturegraphique
5
4
3
C
2
1
→−
0
→−-5 -4 -3 -2 -1 O 0 1 2 3 4 5ı
-1
-2
-3
-4
La courbeC ci-dessus est une représentation graphique, dans le plan muni du →− →−
repère O, ı ,  d’unefonction f définiesurR−{0}.
L’axe des ordonnées et la droite d’équation y =1 sont deux asymptotes à la courbe
C.
1. Lireleslimitesdelafonction f auxbornesdel’ensemble dedéfinition.
2. Résoudregraphiquement :
a. f(x)=1;
b. f(x)>1.
PartieB
Onadmetquelafonction f représentéeparlacourbeprécédenteestdéfiniesur
R−{0}par:
xe +x
f(x)= .
xe −1
x1+ xe1. a. Vérifierquel’ona: f(x)= .
11− xe
b. Retrouveralors,enjustifiant, lim f(x).
x→+∞
x2. a. Étudier,suivantlesvaleursde x,lesignede(e −1).
xe +x
b. Résoudrel’inéquation >1.
xe −1BaccalauréatESnovembre2003

3. a. Démontrerque: lim f(x)+x =0.
x→−∞
b. Quepeut-onendéduire?
4. ÉtudierlapositiondelacourbeC parrapportàladroited’équation y=−x.
EXERCICE 2 5points
AlainetBenjaminpratiquentassidûmentletennis.Lorsqu’ilsdisputentunmatch
l’uncontrel’autre,estdéclarévainqueurlepremierquiremportedeuxmanches.
Alain et Benjamin décident de
faireunmatch.
A2Onconsidèrelesévènements : 3/5
A :«Alainremportela i-ièmei
A A1 3manche»; 3/4
B : « Benjamin remporte lai B2
i-ièmemanche». 1/3
On donne ci-contre l’arbre pon-
B3déré présentant toutes les issues
possiblesdecetterencontre.
A33/4
1. Quelle est la probabi-
lité qu’Alain remporte ce A2
3/5
matchentroismanches?
B B1 3
2. Démontrer que la proba-
B2bilité qu’Alain gagne cette
rencontreest0,6.
3.Ilsdécidentdejouertroismatchsdansl’année(lesrésultatsdesmatchssont
indépendants les uns des autres) et de faire une cagnotte pour s’offrir un repas en
find’année.Àlafindechaquematch,leperdantversera20€.
Benjamins’interrogesursadépenseéventuelle enfind’année.
a.QuellessontlesdépensespossiblesdeBenjamin?
b.DémontrerquelaprobabilitéqueBenjamindépense40€est0,432.
c.Quelle est laloi deprobabilité associée àla d possible deBenja-
min?
d.Calculerl’espérancededépenseenfind’annéepourBenjamin.
EXERCICE 2 5points
Enseignementdespécialité
MonsieurXaplacé2000€ le31décembre2002sursonlivretbancaire,àintérêts
composés au taux annuel de 3,5% (ce qui signifie que, chaque année, les intérêts
sont ajoutés au capital et produisent à leur tour des intérêts). À partir de l’année
suivante, il prévoit de placer, chaque 31 décembre, 700 € supplémentaires sur ce
livret.
erOndésignepar C lecapital,expriméeneuros,disponiblele1 janvierdel’an-n
née(2003+ n),où n estunentiernaturel.Ainsi,ona:
C =2000.0
er1. a. Calculerlecapitaldisponiblele1 janvier2004.
b. Établir,pourtoutentiernaturel n,unerelationentre C et C .n+1 n
2. Pourtoutentiernaturel n,onpose:
u =C +20000.n n
AmériqueduSud 2BaccalauréatESnovembre2003
a. Démontrerquelasuite(u )estunesuitegéométriquedontondétermi-n
neralaraison.
b. Exprimer u enfonctionde n.n
c. Endéduireque,pourtoutentiernaturel n,ona:
nC =22000×(1,035) −20000.n
erd. Calculerlecapitaldisponiblele1 janvier 2008 (onarrondiralerésultat
àl’europrès).
3. Le premier janvier 2008, Monsieur X retirera alors le capital disponible de la
banque pour financer un voyage dont le coût (supposé fixe) est de 6 000 €.Il
paiera cette somme en 4 mensualités qui seront 4 termes consécutifs d’une
suitearithmétiquederaison800€.
Calculerlemontantdechacunedeces4mensualités.
PROBLÈME 10points
PartieA
Étuded’unefonction
Soit f lafonctiondéfiniesur]1; +∞[par:
3 2
f(x)=ln x −x .
1. Justifierque,pourtout x del’intervalle ]1; +∞[, f(x)estdéfinie.
2. Déterminer lim f(x),puis lim f(x).
x→1 x→+∞
x>1
3. Onnote f lafonction dérivéede f.Vérifierque,pour tout x dansl’intervalle
]1; +∞[
3x−2
f (x)= .
x(x−1)
Dresserletableaudevariationsdelafonction f sur]1; +∞[.
4. a. Démontrerquel’équation :
f(x)=0
admetsur]1; +∞[unesolutionuniqueα.Donnerlavaleurarrondiede
−1αà10 près.
b. Démontrerque f(x)eststrictementpositifsur]α; +∞[.
→− →−
5. Dans un repère orthonormal O, ı ,  d’unité graphique 1 cm, tracer la
courbeΓreprésentativedelafonction f surl’intervalle ]1; +∞[.
6. Soit h lafonctiondéfiniesurl’intervalle ]1; +∞[par:
h(x)=2xlnx+(x−1)ln(x−1).
Onnote h safonctiondérivée.
Pourtout x de]1; +∞[,calculer h (x).
Endéduireuneprimitivedelafonction f surl’intervalle ]1; +∞[
AmériqueduSud 3BaccalauréatESnovembre2003
PartieB
Interprétationéconomique
Onconsidèreunemachineproduisantuncomposéchimiqueliquide.
Pourqu’ellesoitrentable,cettemachinedoitproduireaumoins2hectolitres.
De plus, le liquide produit est dangereux et impose une fabrication maximale de 9
hectolitresavantrévisiondelamachine.
Pourtout x de[2;9],lavaleurducoûtmarginal c(x),expriméenmilliersd’euros,est
donnéepar:

3 2c(x)=ln x −x ,
et C (x) est le coût total de fabrication de x hectolitres de liquide. On rappelleT
que:
C (x)= c(x).T
où C désignelafonctiondérivéede C .TT
Lecoûttotal desdeuxpremiers hectolitres (miseen routedelamachine etfabrica-
tion)est10milliersd’euros,cequisetraduitpar C (2)=10.T
1. Déterminerlecoûttotal C (x)enfonctionde x.T
2. a. Calculer C (9)−C (2). On donnera d’abord la valeur exacte, puis uneT T
valeurapprochéeàl’europrès.
b. Donneruneinterprétation graphiquedelaquestion2.a..
AmériqueduSud 4

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