Sujet du bac ES 2008: Mathématique Spécialité

Education Nationale

Description

QCM étude de courbe, matrice de graphe, statistique et nuage de points, étude de fonctions et dérivées.
Sujet du bac 2008, Terminale ES, Polynésie

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• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2008
• Nombre de lectures: 39
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatESPolynésiejuin2008\
Exercice1 4points
Communàtouslescandidats.
5Le plan est muni d’un re-
père orthonormal. Soient 4
f une fonction définie et
dérivable sur l’ensemble R 3
des nombres réels et C sa E A
2courbe tracée ci-contre. La
droiteD est la tangente à la
1
courbeC aupointd’abscisse
0.
BOnappelleB,AetElespoints −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1de coordonnées respectives? ? ? ?
179 179
(4 ; 0), 4; et 0; .
−2 D C75 75
Ces trois points n’appar-
−3tiennent pas à la courbe
C.
Cetexerciceestunquestionnaireàchoixmultiples. Pourchacunedesquatreques-
tions,troisréponsessontproposées;uneseuledecesréponsesconvient.
Indiquersurlacopielenumérodelaquestionetrecopierlaréponseexactesans
justifierlechoixeffectué.
Barème: Uneréponse exacterapporte1 point. Uneréponseinexacte ou une absence
deréponsen’apporteetn’enlèveaucunpoint.
1. L’ordonnéeàl’originedeladroiteD estégaleà:
•0 •1 •2
′2. Lenombredérivé f (0)estégalà:
−1
• •5 •-3
3
3. Sachant que l’aire grisée sur la figure est égale à l’aire du rectangle OBAE, la
valeurmoyennedelafonction f surl’intervalle [0; 4]est:
179 716 179
• • •− .
75 75 75
′4. Surl’intervalle[0; 4],l’équation f (x)=0
• possèdedeuxsolutionsdistinctes
• nepossèdepasdesolution.
• possèdeuneuniquesolution.
Exercice2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité.
bbBaccalauréatES
Un site Internet offre la possibilité à des particuliers de vendre des objets aux en-
chères.Pourchaqueobjet,laduréedesenchèresdureunesemaine.Siuneannonce
reçoit une enchère, alors la vente de l’objet est obligatoire à 1a fin des enchères et
ce,mêmesilevendeurjugeleprixdeventetroppeuélevé.
Surcesite.uneétudestatistiqueamontréque:
3
• des annonces reçoivent une première enchère le lendemain de leur paru-
5
tion;danscecas,75%desvendeurssontsatisfaitsduprixdeventefinal;
1
• desannoncesreçoitunepremièreenchèreauboutdetroisjourset,dansce
3
cas,57%desvendeurssontsatisfaitsduprixdeventefinaldeleurobjet;
• lesautresannoncesnereçoiventaucuneenchèreetlevendeurretirealorsson
objetdelavente.
Onchoisitauhasarduneannoncemiseenlignesurlesite.Onnote:
• L : l’évènement «l’annonce reçoit une première enchère le lendemain de sa
parution»;
• T:l’évènement«l’annoncereçoitunepremièreenchèreauboutdetroisjours»;
• A:l’évènement «l’annoncenereçoitaucuneenchère»;
• S:l’évènement«levendeurestsatisfaitduprixdeventefinaldesonobjet»et
S sonévénementcontraire.
1. Traduirelasituationparunarbredeprobabilité.
2. Calculer laprobabilitéquel’annonceaitreçuunepremièreenchèrelelende-
maindesaparutionetquelevendeursoitsatisfaitduprixdeventefinal.
3. Démontrerquelaprobabilitéquelevendeursoitsatisfaitduprixdeventede
sonobjetest0,64.
4. Unobjetestvenduàunprixquisatisfaitsonvendeur.Quelleestlaprobabilité
quecetobjetaitreçuunepremièreenchèredèslelendemaindelaparutionde
l’annonce(lerésultatseradonnésousformedécimale,arrondiaucentième)?
5. Marc a mis en vente le même jour trois jeux vidéo identiques sur ce site. On
suppose que les déroulements des enchères sont indépendants les uns des
autres.
Calculer la probabilité qu’à la fin des enchères, Marc soit satisfait du prix de
vente d’au moins deux de ces jeux vidéo (le résultat sera donné sous forme
décimale,arrondiaucentième).
Exercice2 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Une grande ville a mis en place un système de location de bicyclettes en libre ser-
vice.Unabonnépeutainsilouerunebicyclettedansunestationpuisladéposerdans
n’importe quelle station de son choix. la ville comporte sept stations de location
nomméesA,B,C,D,E,FetG.
Les stations sont reliées entre elles par une piste cyclable et les temps de parcours
enminutessontindiquéssurlegrapheci-contre.
Polynésie 2 juin2008BaccalauréatES
B
7 10
14
A 11 C
15
9
E
513
18
8 D
F
518
G
1. Philippe, cycliste très prudent, décide de visiter cette ville en n’empruntant
que despistes cyclables.A-t-illa possibilité d’effectuer unparcoursemprun-
tant une fois et une seule toutes les pistes cyclables. Justifier la réponse. À la
fin de ce parcours, pourra-t-il rendresa bicyclette dans la station de départ?
Justifierlaréponse.
2. On appelle M la matrice associée à ce graphe. on donne deux matrices N et
T :    
4 9 8 5 5 9 2 4 9 8 4 5 9 1   9 6 10 7 10 6 4 9 6 10 6 10 6 4     8 10 8 5 10 9 4 8 10 8 4 10 9 4      
N=5 7 5 2 8 4 5 etT=5 7 5 2 8 4 5     5 10 10 8 6 11 2 5 8 10 8 6 11 0      9 6 9 4 11 4 6 9 6 9 4 11 4 6
2 4 4 5 2 6 0 1 4 4 5 0 6 0
3a. Une des deux matrices N ou T est la matrice M . Sans calcul, indiquer
3quelleestlamatrice M .Justifierlaréponse.
b. PhilippealouéunebicycletteàlastationFetl’arendueàlastationE.Au
coursdesondéplacement,ilestpasséexactement deuxfoisdevantune
station.Combiendetrajetsdifférentsa-t-ilpusuivre?Expliquer.
3. Lelendemain,ilenvisagederejoindreleplusrapidementpossiblelastationG
enpartantdelastationA.Àl’aided’unalgorithme,détermineruntelparcours
etdonnerletempsnécessairepourl’effectuer.
Exercice3 4points
Communàtouslescandidats.
Le tableau ci-dessous présente l’évolution de l’indice des prix des logements an-
ciensenIledeFranceentre2000et2006(base100en2000).
Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Rangx del’année 0 1 2 3 4 5 6i
Indice y desprix 100 106,3 114,3 126,1 143,6 166,3 181,5i
(Source:INSEE)
On cherche à étudier l’évolution de l’indice des prix y en fonction du rang de x de
l’année.
Polynésie 3 juin2008BaccalauréatES
1. Calculerletauxd’évolutiondecetindiceentre2000et2006.
2. ReprésenterlenuagedepointsM (x ; y )associéàcettesériestatistiquedansi i i
leplanmunid’unrepèreorthogonal,d’unitésgraphiques:
• surl’axedesabscisses,2cmpourunan;
• surl’axedesordonnées,1cmpour10(enplaçant100àl’origine).
L’alluredecenuagesuggèreunajustementexponentiel.
Onpose z=lny.
3. Recopieretcompléterletableausuivant(lesvaleursdez serontarrondiesaui
millième) :
Rang x 0 1 2 3 4 5 6i
z =lny 4,605i i
4. Danscette question, lescalculs effectués àla calculatriceneserontpas justi-
fiés.
a. Déterminer une équation de la droite d’ajustement de z en x obtenue
par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au
millième).
b. Endéduireuneapproximationdel’indicedesprix y enfonctiondurang
x del’année.
0,104x5. On prend l’approximation : y = 96e et on suppose qu’elle reste valable
pourlesannéessuivantes.
0,104na. Déterminerlepluspetitentiern telque96e >250.
b. Donneruneinterprétationdurésultatobtenu.
Exercice4 7points
Communàtouslescandidats.
? ?
→− →−
Leplanestmunid’unrepèreorthonorrnal O, ı ,  .
1. Onconsidèrelafonction g définiesurl’intervalle]0;+∞[par:
2g(x)=lnx+2x −3.
Letableaudevariationsdelafonction g estdonnéci-dessous:
x 0 α +∞
+∞
g 0
−∞
Enutilisantunecalculatrice,onaobtenuα≈1,19.
Dresserletableaudonnantlesignedelafonction g surl’intervalle]0;+∞[.
2. Onconsidèrelafonction f définiesurl’intervalle]0;+∞[par:
2
f(x)= −lnx+2x−5.
x
? ?
→− →−
OnnoteC lacourbereprésentativedelafonction f danslerepère O, ı ,  .f
a. Déterminerlalimitedelafonction f en0.
b. Déterminerlalimitedelafonction f en+∞.
′3. Onnote f lafonctiondérivéedelafonction f.
Polynésie 4 juin2008BaccalauréatES
′a. Calculer f (x)etmontrerquepourtoutréelx del’intervalle]0;+∞[,on
a:
g(x)
′f (x)= .
2x
b. En déduire le sens de variation de f sur l’intervalle ]0 ; +∞[ et dresser
sontableaudevariations.
c. Déterminerlesignede f(x)pourtoutréel x supérieurouégalàe.
Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans
l’évaluation.
24. Soith lafonctiondéfiniesur]0;+∞[parh(x)=(lnx) .
′a. Calculerladérivéeh deh.
b. Enremarquantquepourtout x del’intervalle]0;+∞[,ona:
2 1
′f(x)= − h (x)+2x−5, trouver une primitive F de la fonction f sur
x 2
l’intervalle]0;+∞[.
c. Déterminer l’aire en unités d’aire de la partie du plan délimitée par la
courbeC ,l’axedesabscissesetlesdroitesd’équations x=eetf
2x=e (ondonneralavaleurexacte,puisunevaleurdécimalearrondieau
dixième).
Polynésie 5 juin2008