Sujet du bac ES 2010: Mathématique Obligatoire

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Description

QCM analyse, loi de probabilité et arbre pondéré, équation de droite d'ajustement et calcul de fonction dérivée.
Sujet du bac 2010, Terminale ES, Réunion

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• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 60
• Langue: Français

Extrait

Bac ES – La Runion – juin 2010 Exercice 1 (4 points) Commun  tous les candidats Cet exercice est un questionnaire  choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une seule rponse est exacte. Le candidat notera  chaque fois sur sa copie le numro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification nest demande. Le barme sera tabli comme suit : pour une rponse exacte aux questions 1, 2, 3 et 4 : 0,5 point, pour une rponse exacte aux questions 5 et 6 : 1 point, pour une rponse fausse ou labsence de rponse : 0 point. Pour toutes les questions, on considre la fonctiondfinie sur lintervalle ]–1 ;+∞[ par : 1 (x) = 2 – x+ 1 On appelleCsa courbe reprsentative dans un repre donn du plan. 1.On a : •lim(x) = –1•lim(x) = 2•lim(x) = –∞. x→–1x→–1x→–1 2.La courbeCadmet une asymptote dquation : •y= 2•y= –1•x= 2 3.Pour tout relxde lintervalle ]–1 ;+∞[,(x) peut scrire : 2x2x1+ 1 •(x) =•(x) =•(x) = x+ 1x+ 1x+ 1 4.Le signe de(x) sur lintervalle ]–1 ;+∞[ est donn par le tableau : ••• 1 x +  –1 ∞ x 0 + –1 ∞ x – +  –1 ∞ 2 || + || – 0 + (x)(x)  || – 0 + (x) 5.Le coefficient directeur de la tangente  la courbeCau point dabscisse 1 est : 3 1 1 •••– 2 4 2 6.Laire, exprime en units daire, de la partie du plan situe entre la courbeC, laxe des abscisses et les droites dquations respectivesx= 0 etx= 1, est gale  : 3 •–2 + ln2•2 – ln2• 2

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Exercice 2 (5 points) Pour les candidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit Un chalutier se rend sur sa zone de pche. La probabilit quun banc de poissons soit sur cette zone est de 0,7. Le chalutier est quip dun sonar pour dtecter la prsence dun banc de poissons. Si un banc est prsent, le sonar indique la prsence du banc dans 80 % des cas. Sil ny a pas de banc de poissons dans la zone de pche, le sonar indique nanmoins la prsence dun banc dans 5 % des cas. On note : Blvnement : « il y a un banc de poissons sur zone » etBlvnement contraire deB, Slvnement : « le sonar indique lexistence dun banc de poissons » etSlvnement contraire deB, 1.Reproduire et complter larbre pondr suivant. Le dtail des calculs nest pas demand. 2.Dterminer la probabilitp(BS) quil y ait un banc de poissons sur la zone et que le sonar le dtecte. 3.Montrer que la probabilit que le sonar indique la prsence dun banc de poissons (rel ou fictif) est 0,575. 4.Lors dune sortie en mer, le pcheur se trouve dans lune des trois situations suivantes : Situation 1 : un banc de poissons est prsent sur la zone et le sonar le dtecte. Le filet est lanc et la pche est fructueuse. Dans ce cas le pcheur gagne 2 000 euros. Situation 2 : il ny a pas de banc de poissons sur zone mais le sonar en signale un. Le filet est lanc pour rien. Dans ce cas le pcheur perd 500 euros. Situation 3 : le sonar ne dtecte aucun banc de poissons (quil y en ait ou pas). Le filet nest pas lanc et le bateau rentre au port  vide. Dans ce cas le pcheur perd 300 euros. a.Reproduire et complter le tableau suivant donnant la loi de probabilit du « gain » (positif ou ngatif » ralis. Gain :x 2 –300000 –500 i Probabilit :p i b.Le pcheur effectue de nombreuses sorties. Quel gain par sortie peut-il esprer avoir ? 5.Le pcheur prvoit deffectuer trois sorties successives sur la zone de pche. Dterminer la probabilit que, pour les trois sorties, le sonar reste muet, cest--dire nindique pas la prsence dun banc de poissons.On donnera la valeur approche arrondie au millime de ce rsultat.

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Exercice 2 (5 points) Pour les candidats ayant suivi lenseignement de spcialit Les parties A et B sont indpendantes. Partie A Une tude statistique est ralise chaque trimestre sur une population compose initialement de fumeurs. Certains dentre eux sarrtent de fumer, dautres qui sont arrt, redeviennent fumeur. On estime que : -si un individu est fumeur, la probabilit quil arrte de fumer (quil devienne non fumeur) le trimestre suivant est 0,2 ; -si un individu a arrt de fumer (il est considr alors comme non fumeur), la probabilit quil redevienne fumeur le trimestre suivant est 0,3. On notera X lvnement « lindividu est fumeur » et Y lvnement « lindividu est non fumeur ». 1.Reprsenter les donnes prcdentes par un graphe probabiliste et donner sa matrice de transition que lon notera M (aucune justification nest demande, on respectera lordre alphabtique des sommets). 2.Pour un entier naturelndonn, on notex n la proportion de fumeurs dans la population et y n la proportion de non fumeurs au trimestre de rangn. On note E n = (x n y n ) la matrice ligne donnant ltat probabiliste du systme au trimestre de rangn. On tudie la population initiale o tous les individus sont fumeurs. On a donc : E 0 = (1 0). a)Vrifier que la proportion de fumeurs  lissue de deux trimestres est 0,7. b)Dterminer ltat E 4 de la population  lissue dune anne. 3.La rpartition fumeurs/non fumeurs de la population converge vers un tat stable : E = (xy). Dterminer cet tat. Partie B Le chiffre daffaires dun dbitant de tabac sur une priode donne est fonction de deux variables : le nombre de consommateurs, cest--dire de fumeurs, et le prix moyen du paquet de tabac. On appellezle chiffre daffaire en milliers deuros,xle nombre de consommateurs en milliers etyle prix du paquet de tabac en euros. On admettra quez=xy. Dans lespace, muni dun repre orthonormalO   , on dsigne parSla surface dquationz=xy. 1.Le dbitant a pour clients 1 000 consommateurs rguliers et le prix moyen du paquet de tabac est de 5 euros. a)Quel est le chiffre daffaires ralis par le dbitant ? b)Soit, dans un plan P parallle au plan de basexOy, la ligne de niveauz= 5 de la surfaceS. On a trac cette ligne de niveau sur la figure 1 donne en annexe 1. Donner son quation de la formey=(x). 2.Le nombre de consommateurs passe de 1 000  600. Quel devrait tre, au centime deuros prs, le nouveau prix du paquet de tabac pour que le chiffre daffaires du dbitant reste gal  5 000 € ?

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Exercice 3 (5 points) Commun  tous les candidats LOrganisation des Nations Unies (ONU) a tabli en 2008 des statistiques et des prvisions sur la population mondiale. Le tableau suivant donne la population recense par lONU. (La population en 2010 est considre par lONU comme trs proche de la ralit compte tenu de la date  laquelle ltude a t effectu.) Anne 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 Range de lanne :x i  1 2 3 4 5 6 7 Population (en millions de 2 529 3 023 3 686 4 438 5 290 6 115 6 908 personnes) :y i 1.a)Calculer laugmentation de population entre les annes 1950 et 1960, puis entre les  annes 1970 et 1980, puis entre les annes 1990 et 2000.  Un ajustement affine est-il pertinent ? b)Calculer le pourcentage daugmentation de la population mondiale entre les annes  1990 et 2000.On donnera la valeur arrondie  0,1 % prs. 2.On envisage un ajustement exponentiel. a)Pour chaque annex i , calculer lny i et complter le tableau suivant sur la feuille donne  en annexe 2 avec les valeurs approches arrondies  0,01 prs. Anne 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 x i 2 3 4 5 6 7 1 z i = lny i b)Reprsenter le nuage de points M i (x i ;z i ) sur la feuille donne en annexe 2. 3.a)Dterminer une quation de la droite dajustement dezenxobtenue par la mthode  des moindres carrs.Aucune justification nest demande, les calculs seront effectus  avec la calculatrice et les coefficients arrondis au millime. b)Tracer cette droite dajustement sur le graphique de la question 2. 4.Dduire de lajustement prcdent lexpression de la populationydonne en fonction du Bx rangxde lanne, sous la forme :y= Ae o A et B sont des nombres rels  dterminer. On arrondiraA lunit etBau millime. 0,171x 5.On suppose quey. Quelle estimation peut-on donner pour la population= 2 180 e mondiale en 2030 ? On donnera les valeurs approches arrondies au million prs.

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Exercice 4 (6 points) Commun  tous les candidats Suite  un accident industriel, un gaz se rpand dans un local dusine. Lvolution du taux de gaz dans lair peut tre modlis grce  la fonctiondfinie lintervalle [0 ;+∞[ par : −x (x) = 2xe oxest le nombre de minutes coules depuis laccident et(x) le taux de gaz dans lair exprim en parties pour million (ppm).  x  1.a)limOn rappelle que x  = 0. Dterminer la limite deen+∞.   e x→ + ∞ b)On admet que la fonctionest drivable sur lintervalle [0 ;+∞[ et on notesa  fonction drive.  Calculer(x) et tudier son signe pourxlment de lintervalle [0 ;+∞[.  Donner le tableau complet des variations de la fonctionsur lintervalle [0 ;+∞[. 2.On admet que le taux de gaz dans lair est ngligeable aprs 5 minutes. Cest pourquoi, dans la suite de lexercice, on restreindra ltude de la fonction lintervalle [0 ; 5]. Le plan est muni dun repre orthogonal. La courbe reprsentative de la fonctionsur lintervalle [0 ; 5] est donne en annexe 3. −x a)Vrifier que la fonctionFdfinie sur lintervalle [0 ; 5] parF(x) = (–2 – 2x) e est une  primitive desur cet intervalle. b)Calculer la valeur moyennem(exprime en ppm) du taux de gaz pendant les  5 minutes.  On dterminera la valeur exacte dempuis on donnera sa valeur approche arrondie   0,01 ppm prs. 3.Dans cette question, toute trace de recherche, mme incomplte, ou dinitiative mme non fructueuse, sera prise en compte dans lvaluation. On considre que le gaz a un effet irritant pour lorganisme si le taux dpasse 0,65 ppm pendant plus dune minute. Dterminer si le personnel de lusine a t affect ou non par la fuite de gaz, en explicitant la dmarche.

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ANNEXE 1 EXERCICE 2(candidats ayant suivi lenseignement de spcialit) Ligne de niveauz= 5 de la surfaceS.

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ANNEXE 2 ( rendre avec la copie) EXERCICE 3(commun  tous les candidats) Question 2 : Tableau  complter : Anne 1950 1960 1970 1980 1990 x i 2 3 4 5 1 z i = lny i Reprsentation du nuage de points M i (x i ;z i ) :

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2000 6

2010 7

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ANNEXE 3 ( rendre avec la copie) EXERCICE 4(commun  tous les candidats) Reprsentation graphique de la fonctionsur lintervalle [0 ; 5].

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