Sujet du bac S 2007: Mathématique Obligatoire
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Description

Géométrie 3D, démonstration d'intégrales, nombres complexe, QCM probabilité, fonction et suite.
Sujet du bac 2007, Terminale S, Métropole

Sujets

Informations

Publié par
Publié le 01 janvier 2007
Nombre de lectures 58
Langue Français

Extrait

[BaccalauréatSFrance15juin2007\
EXERCICE 1 3points
Communàtouslescandidats ? ?
→− →− →−
′L’espace est muni du repère orthonormal O, ı ,  , k . Soient (P)et (P ) les plans
d’équationsrespectivesx+2y−z+1=0et−x+y+z=0.SoitAlepointdecoordon-
nées(0;1;1).
′1. Démontrerquelesplans(P)et(P )sontperpendiculaires.
2. Soit(d)ladroitedontunereprésentationparamétriqueest:

1 x = − +t 3
1 oùt estunnombreréel.y = − 3 z = t
′Démontrerquelesplans(P)et(P )secoupentselonladroite(d).
′3. CalculerladistancedupointAàchacundesplans(P)et(P ).
4. EndéduireladistancedupointAàladroite(d).
EXERCICE 2 3points
Communàtouslescandidats
1. Restitutionorganiséedeconnaissances
Démontrerlaformuled’intégrationparpartiesenutilisantlaformulededéri-
vationd’unproduitdedeuxfonctionsdérivables,àdérivéescontinuessurun
intervalle [a ; b].
2. Soientlesdeuxintégralesdéfiniespar
Z Zπ π
x xI= e sinxdx etJ= e cosxdx.
0 0
πa. Démontrerque1=−JetqueI=J+e +1.
b. EndéduirelesvaleursexactesdeIetdeJ.
EXERCICE 3 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
PartieA
Onconsidèrel’équation :
3 2(E) z −(4+i)z +(13+4i)z−13i=0
oùz estunnombrecomplexe.
1. Démontrerquelenombrecomplexeiestsolutiondecetteéquation.
2. Déterminerlesnombresréelsa, b etc telsque,pourtoutnombrecomplexe z
onait: ? ?
3 2 2z −(4+i)z +(13+4i)z−13i=(z−i) az +bz+c .
3. Endéduirelessolutionsdel’équation (E).
PartieB ? ?
→− →−
Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct O, u , v , on dé-
signeparA,BetClespointsd’affixesrespectivesi,2+3iet2−3i.BaccalauréatS
π
′1. Soit r la rotation de centre B et d’angle . Déterminer l’affixe du point A ,
4
imagedupointAparlarotationr.
′2. DémontrerquelespointsA ,BetCsontalignésetdéterminerl’écriturecom-
′plexedel’homothétie decentreBquitransformeCenA .
EXERCICE 3 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Lafigureestproposéeenannexe1.Elleseracomplétéetoutaulongdel’exercice.? ?
→− →−
Dansleplancomplexe,rapportéaurepèreorthonormaldirect O, u , v ,onconsi-
dèrelespointsA,BetC,d’affixesrespectives−5+6i, −7−2iet3−2i.Onadmetque
lepointF,d’affixe−2+iestlecentreducercleΓcirconscritautriangleABC.
1. Soit H le point d’affixe−5. Déterminer les éléments caractéristiques de la si-
militudedirectedecentreAquitransformelepointCenlepointH.
′2. a. Étant donné desnombres complexes z et z ,on note M le point d’affixe
′ ′z et M lepointd’affixez .Soient a etb desnombrescomplexes.
′Soit s latransformation d’écriturecomplexe z =az+b qui,aupoint M,
′associelepoint M .
Déterminer a et b pour que les points A et C soient invariants par s.
Quelleestalorslanaturedes?
b. En déduire l’affixe du point E, symétrique du point H par rapport à la
droite(AC).
c. VérifierquelepointEestùnpointducercleΓ.
3. SoitIlemilieudusegment[AC].
Déterminerl’affixe dupointG,imagedupoint Iparl’homothétie decentreB
2
etderapport .
3
DémontrerquelespointsH,GetFsontalignés.
EXERCICE 4 4points
Communàtouslescandidats
Cetexerciceestunquestionnaireàchoixmultiples.
Pourchaquequestion,uneseuledespropositionsestexacte.Ondonnerasurlafeuille
la réponsechoisie sansjustification. Ilseraattribuéun point sila réponseestexacte,
zérosinon.
−3Danscertainesquestions,lesrésultatsproposésontétéarrondisà10 près.
1. Un représentant de commerce propose un produit à la vente. Une étude sta-
tistiqueapermisd’établirque,chaquefoisqu’ilrencontreunclient,laproba-
bilitéqu’ilvendesonproduitestégaleà0,2.Ilvoitcinqclientsparmatinéeen
moyenne. La probabilité qu’il ait vendu exactement deux produits dans une
matinéeestégaleà:
a. 0,4 b. 0,04 c. 0,1024 d. 0,2048
2. Dans une classe, les garçons représentent le quart de l’effectif. Une fille sur
troisaeusonpermisdupremiercoup,alorsqueseulement ungarçonsurdix
l’a eu du premier coup. On interroge un élève (garçon ou fille) au hasard. La
probabilitéqu’ilaiteusonpermisdupremiercoupestégaleà:
a. 0,043 b. 0,275 c. 0,217 d. 0,033
France 2 15juin2007BaccalauréatS
3. Dans la classe de la question 2, on interroge un élève au hasard parmi ceux
ayant eu leur permis du premier coup. La probabilité que cet élève soit un
garçonestégaleà:
a. 0,100 b. 0,091 c. 0,111 d. 0,25
4. Un tireur sur cible s’entraîne sur une cible circulaire comportant trois zones
délimitéespardescerclesconcentriques,derayonsrespectifs10,20et30cen-
timètres. On admet que la probabilité d’atteindre une zone est proportion-
nelleàl’airedecettezoneetqueletireuratteinttoujourslacible.Laprobabi-
litéd’atteindrelazonelapluséloignéeducentreestégaleà:
5 9 4 1
a. b. c. d.
9 14 7 3
EXERCICE 5 5points
Communàtouslescandidats
Onconsidèrelafonction f définiesurl’intervalle ]−1;+∞[par:
ln(1+x)
f(x)=x− .
1+x
LacourbeC représentativede f estdonnéesurledocumentannexe2quel’oncom-
pléteraetquel’onrendraaveclacopie.
PartieA:ÉtudedecertainespropriétésdelacourbeC
′ ′1. On note f la fonction dérivée de f. Calculer f (x) pour tout x de l’intervalle
]−1; +∞[.
22. Pourtout x del’intervalle ]−1; +∞[,onpose N(x)=(1+x) −1+ln(1+x).
Vérifierquel’ondéfinitainsiunefonctionstrictementcroissantesur]−1; +∞[.
Calculer N(0).Endéduirelesvariationsde f.
3. SoitD la droite d’équation y = x. Calculer les coordonnées du point d’inter-
sectiondelacourbeC etdeladroiteD.
PartieB:Étuded’unesuiterécurrentedéfinieàpartirdelafonctionf
1. Démontrerquesi x∈[0; 4],alors f(x)∈[0 ; 4].
2. Onconsidèrelasuite(u )définiepar:n
?
u = 4et0
u = f (u ) pourtoutn deN.n+1 n
a. Sur le graphique de l’annexe 2, en utilisant la courbeC et la droiteD,
placerlespointsdeC d’abscissesu ,u , u etu .0 1 2 3
b. Démontrerquepourtoutn deNona:u ∈[0 ; 4].n
c. Étudierlamonotoniedelasuite(u ).n
d. Démontrerquelasuite(u )estconvergente.Ondésigneparℓsalimite.n
e. UtiliserlapartieApourdonnerlavaleurdeℓ.
France 3 15juin2007BaccalauréatS
ANNEXE
Àcompléteretàrendreaveclacopie
Exercice5y
5 D
C
4
3
2
1
1
0
1 xO
-1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
France 4 15juin2007BaccalauréatS
ANNEXE1
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Àcompléteretàrendreaveclacopie
Exercice3
? ? ? ? ? ? ? ? ? y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
A
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
→−
xv
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
→−O
u
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
B
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
France 5 15juin2007
bb

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