Etude de limites et de convergence de suite, probabilité (lancé de dé), intégration par parties, géométrie complexe Sujet du bac 2010, Terminale S, Réunion
Bac S – La Runion – juin 2010 EXERCICE 1 : (6 points) Commun tous les candidats Soitla fonction dfinie sur lintervalle ]–1 ;+∞[ par(x) = 1 + ln(1 +x). On notesa courbe reprsentative dans un repre orthonormalO . On noteDla droite dquationy=x. Partie A1)a) tudier le sens de variation de la fonction. b) Dterminer les limites de la fonctionaux bornes de son ensemble de dfinition. 2)On dsigne pargla fonction dfinie sur lintervalle ]–1 ;+∞[ parg(x) =(x) –x. a) Dterminer limg(x). x→– 1 ln(1 +x) b) Dterminerlim .En dduirelimg(x). 1 +x x→ + ∞x→ + ∞ c) tudier le sens de variation de la fonctiong, puis dresser le tableau de variations de la fonctiong. d) Montrer que sur lintervalle ]–1 ;+∞[ lquationg(x) = 0 admet exactement deux solutionsαet, avecαngative etappartenant lintervalle [2 ; 3]. e) laide des questions prcdentes, dterminer le signe deg(x). En dduire la position relativede la courbeet de la droiteD. Partie BDans cette partie, toute trace de recherche, mme incomplte, ou dinitiative, mme non fructueuse, sera prise en compte dans lvaluation. Soit (un) la suite dfinie pour tout nombre entier naturelnpar :u0= 2 etun+1= (un). 1)Montrer que, pour tout nombre entier natureln, 2un. 2)La suite (un) est-elle convergente ? Justifier la rponse.
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EXERCICE 2 : (4 points) Commun tous les candidats Dans cet exercice, tous les rsultats seront donns sous forme de fractions irrductibles. Partie I: On dispose dun d cubiqueAparfaitement quilibr possdant une face verte, deux faces noires et trois faces rouges. Un jeu consiste lancer deux fois de suite et de manire indpendante ce d. On note chaque lancer la couleur de la face obtenue. 1)Calculer la probabilit pour qu lissue dun jeu, les deux faces obtenues soient noires. 2)Soit lvnement C : « lissue dun jeu, les deux faces obtenues sont de la mme 7 couleur ». Dmontrer que la probabilit de lvnement C est gale . 18 3)Calculer la probabilit pour qu lissue dun jeu, les deux faces obtenues soient de couleurs diffrentes. 4) lissue dun jeu, sachant que les deux faces obtenues sont de la mme couleur, quelle est la probabilit pour que les deux faces obtenues soient vertes ? Partie II: On dispose dun second d cubiqueBquilibr prsentant quatre faces vertes et deux faces noires. Le nouveau jeu se droule de la manire suivante : on lance le dB; •si la face obtenue est verte, on lance nouveau le dBet on note la couleur de la face obtenue; •si la face obtenue est noire, on lance le dAet on note la couleur de la face obtenue. 1)a) Construire un arbre de probabilits traduisant cette situation. b) Quelle est la probabilit dobtenir une face verte au deuxime lancer, sachant que lon aobtenu une face verte au premier lancer ? 4 2).Montrer que la probabilit dobtenir deux faces vertes est gale 9 3)Quelle est la probabilit dobtenir une face verte au deuxime lancer ?
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EXERCICE 3 : (5 points) Commun tous les candidats Les deux parties de cet exercice peuvent tre traites indpendamment. Partie A: On cherche dterminer lensemble des fonctions, dfinies et drivables sur lintervalle ]0 ;+∞[, vrifiant la condition (E) : 2 2x pour tout nombre relxstrictement positif,x(x) –(x) =xe . 1)Montrer que si une fonction, dfinie et drivable sur lintervalle ]0 ;+∞[, vrifie la (x) condition (E), alors la fonctiongdfinie sur lintervalle ]0 ;+∞[ parg(x) =vrifie : x 2x pourtout nombre relxstrictement positif,g(x) = e. 2)En dduire lensemble des fonctions dfinies et drivables sur lintervalle ]0 ;+∞[ qui vrifient la condition (E). 3)Quelle est la fonction dfinie et drivable sur lintervalle ]0 ;+∞[ qui vrifie la condition 1 (E?) et qui sannule en 2 Partie B: 12xe On considre la fonctionhdfinie sur lintervalle [0 ;+∞[ parh(x) =xe –x. 2 2 On dsigne parsa courbe reprsentative dans un repre orthonormalO. 1)Dterminer, suivant les valeurs du nombre rel positifx, le signe deh(x). 1 2 2x 2)a) Calculer, laide dune intgration par parties, lintgralexe dxet en dduire 0 1 2 h(x) dx. 0 b) En dduire, en unit daire, la valeur exacte de laire de la partie du plan situe en dessousde laxe des abscisses et au dessus de la courbe.
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EXERCICE 4 :(5 points) Candidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit Partie I : Restitution organise de connaissances Le plan complexe est rapport un repre orthonormal directOuv. SoientA,BetCtrois points du plan daffixes respectivesa,b,c. On suppose queAetBsont distincts, ainsi queAetC. On rappelle queu,AB= arg(b–a) [2π]. c–a Montrer queAB,AC= arg[2π]. b–a Partie II : Le plan complexe est rapport un repre orthonormal directOuv. On considre le pointAdaffixe 1 + i. z– 1 – i On associe, tout pointMdu plan daffixeznon nulle, le pointM daffixez. = z Le pointM est appel le point image du pointM. 1)a) Dterminer, sous forme algbrique, laffixe du pointB, image du pointBdaffixe i. b) Montrer que, pour tout pointMdu plan daffixeznon nulle, laffixez du pointM est tellequez≠1. 2)Dterminer lensemble des pointsMdu plan daffixeznon nulle pour lesquels laffixe du pointM est telle que |z| = 1. 3)Quel est lensemble des pointsMdu plan daffixeznon nulle pour lesquels laffixe du pointM est un nombre rel ?