Cet ouvrage fait partie de la bibliothèque YouScribe
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le lire en ligne
En savoir plus

THEOREME DE CESARO

De
3 pages

THEOREME DE CESARO

Publié par :
Ajouté le : 21 juillet 2011
Lecture(s) : 5 079
Signaler un abus

Vous aimerez aussi

THÉORÈMES DE CESARO
Théorème 1version "suite convergente"
Soit (un) une suite de réels convergeant vers un réell.
* Alors la suite (vn) définie, pourn, par :
converge également versl.
Démonstration :
Fixonsε+.
n 1 vn=u k n k=1
Autrement dit, le théorème de Cesàro
affirme que la convergence entraîne la
convergence en moyenne.
(On dit que (un) converge en moyenne verslou converge au sens de Cesàro)
Comme (un) converge versl:
Pourn>N, on a :
N,k, (kN |ukl|ε)
n 1 vnl= (ul) k n k=1
n Nn 1 11 |vnl| |ul| |ul|+ |ul| ∑ ∑k kk n nn k=1k=1k=N+1 N 1 PosonsAn= |ul| . k n k=1 * Il est clairAn 0donc :N',n, (nN' |An|ε) → n→∞ Pourn> max(N,N'), on a alors : n 1nN |vnl|An+ |ul|ε+ε2ε k n n k=N+1 Ce qui prouve bien que (vn) converge versl. Remarque : Une suite qui converge en moyenne ne converge pas nécessairement. Autrement dit, la réciproque du théorème de Cesàro est fausse. Voici un contreexemple : n un=(1) n (1) (un) diverge tandis que la suite (vn) définie parvn= convergevers 0. n Théorème 2version "suite divergente vers+∞" Soit (un) une suite divergente vers+∞. n *1 Alors la suite (vn) définie, pourn, par :vn=u k n k=1
diverge également vers+∞.
Théorème de Cesàro
Page1
G. COSTANTINIhttp://bacamaths.net/
Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin