Universite d'Orleans Departement de Mathematiques

Joseph Fourier

Description

Niveau: Supérieur, Bac+5
Universite d'Orleans Departement de Mathematiques Preparation au CAPES Annee academique 2007–2008 Page web : http : // . . . . . . /Capes/Capes2007.html Series de Fourier 3 Joseph Fourier (1768–1830) Sites web a consulter : http ://fr.wikipedia.org/wiki/Joseph Fourier http ://home.nordnet.fr/?ajuhel/Fourier/Fourier.html

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• resolution de l'equation des ondes en dimension

Sujets

• Fourier
• Équation

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Universit´ed’Orl´eans D´epartementdeMath´ematiques

Pre´parationauCAPES Ann´eeacad´emique2007–2008

Page web:http :/www.univ–orleans.fr/mapmo/membres/grellier/Enseignement/. . . . . ./Capes/Capes2007.html

Se´riesdeFourier3

Joseph Fourier (1768–1830)

Sitesweb`aconsulter: http :/fr.wikipedia.org/wiki/Joseph Fourier http :/home.nordnet.fr/∼ajuhel/Fourier/Fourier.html

1.Adapterlathe´oriedess´eriesdeFourierauxfonctionsdepe´riodeT >0 surR. 2.luso´eRl’deontioitaue´ahcalednleurendimension1 Onconside`reunemincebarrehomog`ene,delongueurℓal´tafecsarunolt´ee:isoleestedr,al 0 ℓ x Lapropagationdelachaleurdanscettebarreestgouvern´eeparl’´equationauxde´rive´es partielles 2 ∂ u∂ u (1) =µ 2 , ∂ t∂ x u(t, xsptumeedelaturre,aabarltnate´)re´pmetatet au pointx, etµune constante>0, de´pendantdelanaturedelabarre(coefficient de diffusion thermique). 2 ∂ u∂ u (i)Constaterquel’ope´rateuru7→ −µ 2 tlinesiae´.er ∂ t∂ x (ii)Ende´duireque,siu 1 , u 2 , .. .sont des solutions de (1), alors toute combinaison line´aireu=C 1 u 1 +C 2 u 2 +. . .est solution de (1) (principe de superposition). (iii)Re´soudrel’e´quation(1),lorsqueueuedqdnepe´dentou que dex. Plusg´en´eralement,oncherchedessolutionsde(1)delaformeu(t, x) =T(t)X(x) (m´etdes´hodeoitarapeiravsednsleab). (iv)Laissonsdecˆote´lasolutiontrivialeuMontrer que= 0.uest solution de (1) si et seulement siTetXvtnefiire´ ( ∂ T (2) =λµT ∂ t 2 ,ou`λest une constante arbitraire. ∂ X (3) 2 =λX ∂ x (v)R´esoudreces´equations. (vi)End´eduirequelessolutionsde(1),delaformeu(t, x) =T(t)X(xs,nos)´needtno par  2 ω µtωx−ωx e(C 1 e+C 2 e) avecω >0,   u(t, x) = C 1 +C 2 x ,  2  −ω µtiωx−iωx e(C 1 e+C 2 e) avecω >0. Onimposedor´enavantdesconditions au bordde la forme (4)u(t,0) =αetu(t, ℓ) =βpour toutt(α, βconstantes). (vii) Montrer que les solutions non triviales du premier type ne peuvent pas satisfaire des conditions au bord de la forme (4). β−α (viii) Montrer queu(t, x) =α+xueixdndutuoiseloseulstlaetisasme`epety ℓ faisant (4). (ix)Montrerqu’unesolutiondutroisie`metypeve´rifie(4)a`conditionque  α= 0 etβ= 0 C 1 +C 2 = 0 etω=nπ/ℓ(n= 1,2, . . .) 2 2 π −n µt π 2 i. e.u(t, x) =C esinn x2,avec n=1,. . .. ℓ ℓ

Ensuperposantlessolutionspr´ec´edentesennombrefini,onobtientunesolutionsassez ge´ne´ralede(1),avecconditionsaubord(4): X N 2 π 2 β−α −n µt π 2 u(t, x) =α+x+c n esinn x. ℓ ℓ ℓ n=1 (x) Observer qu’une telle solutionutseaprere`itneetd´ntmeeen´mier (5)u(0, x) =f(x) (condition initiale). Lath´eoriedesse´riesdeFouriernousam`ene`asupputerquelasolutiong´ene´ralede l’´equation(1),avecconditionsaubord(4)etconditioninitiale(5),estdonne´epar X +∞ 2 π 2 β−α µ −n 2 t π (6)u(t, x) =α+x+c n esinn x, ℓ ℓ ℓ n=1 P +∞ π β−α ou`c n sinn xctonnioedeiruoFdreifaleestlas´erg(x) =f(x)−α−x n=1 ℓ ℓ (0< x < ℓ),(alletervni’la`ee´gnolorp−ℓ, ℓ)paaiu`se´p,ratiirpmRpar 2ℓerp´diio´tic–.e Explicitement, Z Z ℓ ℓ 1π2π c n =dx g(x) sinn x=dx g(x) sin.n x ℓ ℓℓ ℓ −ℓ0 (xi) Montrer finalement que, pour des fonctionsfsmmenuffisae´rtilugere`.p(s.cextionn 1 ues, etCpar morceaux), (a)las´erie(6)convergepourtoutt≥0 et pour toutx, ∞ (b) la fonctionu(t, xa)siinefid´eenicosteue,tnnitCpourt >0, 2 ∂ u∂ u (c) =µ 2 pourt >0, ∂ t∂ x (d)u(t,0) =αetu(t, ℓ) =βpour toutt≥0, (e)u(0, x) =f(x) pour toutx. (xii)Examinerl’e´volutiondeu(t, x), pourt→+∞. (xiii) Cas particuliers: (a)f(x) =α=β= constante,  T 1 si 0< x < ℓ (b)f(x) =etα=β=T 0 , T 0 six= 0, ℓ (c)f(x) =x/ℓ(0≤x≤ℓ) etα= 0, β=ℓ, 2 2 (d)f(x) =x /ℓ(0≤x≤ℓ) etα= 0, β=ℓ. (xiv)R´esoudredemˆemel’e´quation(1)avecconditionsaubord ∂ u∂ u (4’) (t,(0) =t, ℓ() = 0t >0) (seudabrrrteˆim´texseel´souiea) ∂ x∂ x et condition initiale (5).

3.R´selotuoidnle´’qetiuadeonndsoenesemidoisn1n Onconside`rel’e´quationauxde´riv´eespartielles 2 2 ∂ u 2 ∂ u (1) 2 =µ 2 (µconstante>0), ∂ t∂ x qui gouverne la propagation d’une onde unidimensionnelle (p.ex. corde vibrante). 2 2 ∂ 2 ∂ (i)Constaterlalin´earit´edel’ope´rateurdiffe´rentielD= 2 −µ 2 . ∂ t∂ x 1e`reme´thodeder´esolution: (ii) Chercher les solutions de (1) de la formeu(t, x) =T(t)∙X(x) (sdee´sarapnoit variables). (iii)Ende´duireparsuperpositionla solution de (1), avec conditions aux bords (2)u(t,0) =u(t, ℓ) = 0 pour toutt et conditions initiales ∂ u (3)u(0, x) =f(x),(0, x) =g(x) (0≤x≤ℓ), ∂ t ℓnaut´teenttanscone>0. 2e`meme´thodedere´solution:    ∂ u∂ u∂ u∂ u Lade´compositionD= +µ−µdonnel’id´eedeutceffe’gnahcelrtenem ∂ t∂ x∂ t∂ x  ξ=x+µt de variables. η=x−µt (iv)Montrerquel’´equation(1)devientalors 2 ∂ u (4) =0. ∂ ξ∂ η (v)Re´soudrel’´equation(4). (vi)Ende´duirequelasolutionde(4),avecconditionsaubord(2)etconditionsiniti ales(3),estdonn´eepar Z x+µt 1 1 (5)u(t, x) =[f(x+µt) +f(x−µt)] +dy g(y), 2 2µ x−µt

les fonctionsfetgssie[0ur,iitinmeladtnenfie´, ℓs`a[g´eeo]l,onnttap´re−ℓ, ℓir´tmiapp]rae, puis`aRpar 2ℓ–p.e´ticidoire´ (vii) Comparer les solutions obtenues sous (iii) et (vi).