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MT 26 FinalAutomne 03 Jeudi 22 janvier 2004 Matériel autorisé: une feuille aidemémoire A4 recto Les deux parties doivent être rédigées sur des copies séparées
I.Première partie(12 points = 2 + 4 + 6) 1 1°) Développeren série entière au voisinage de 0, la fonction f définie par:f (x)=. On pourra 1+x utiliser une des deux méthodes : méthode 1 : développer directement à l’aide des formules bien connues des étudiants (sérieux) méthode 2 : déterminer une équation différentielle du premier ordre dont f est une solution. Exprimer les coefficients à l’aide de factorielles, puis déterminer son rayon de convergence. c h 2 2°) Soitl’équation différentielle(E) 1+x y''+3 x y'+y=0 ,et une fonction S, développable en série n entière en 0S(x)=de cette équation différentielle sur un intervalle ]R, +R[.a x solution  n n0 a) Déterminerdes relations entre les coefficients a. n b) Déterminer,sous la forme d’une série entière, puis sous forme explicite, une solution yde (E) vé 1 rifiant y(0) = 1 ety’ (0)= 0. 1 1 3°) Onse propose de déterminer le développement en série de Fourier de la fonctiondéfinie sur R par : F IF I   G JG J (x)=cos x. On définit f parx R, f(x)= x+ =cos(x) . H4K H4K a) Représenterces deux fonctions dans un même repère orthogonal. Quelles sont les propriétés de f et de? F IF I kk G JG J b) Calculeren fonction de k entier naturel, les valeurscos etsin .On pourra représenter H2K H2K ces résultats sous la forme d’un tableau. c) Calculerle développement en série de Fourier de f. 1  d) Endéduire la sommede deux manières. 2 4n1 n1 e) Déterminer,à l’aide des questions précédentes, le développement en série de Fourier de.