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UTBM analyse numerique et splines 2006 gi mt44 genie informatique semestre 2 partiel

4 pages
MT44 Printemps 2006Examen médian du 3 mai 2006Durée : deux heure(s)Tout document autorisé - Calculatrice autorisée.On rédigera les deux exercices sur deux copies différentes. On pourra admettre toutrésultat intermédiaire afin de poursuivre la résolution d’un exercice.Exercice 1 (De l’interpolation polynômiale aux splines).On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle [A,B] deR.(1) Étude sur une partie [x ,x ] de [A,B]0 1On considère les réels x et x tels que x
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MT44
Durée : deux heure(s)
Examen médian du 3 mai 2006
Tout document autorisé  Calculatrice autorisée.
Printemps 2006
On rédigera les deux exercices sur deux copies différentes. On pourra admettre tout résultat intermédiaire afin de poursuivre la résolution d’un exercice.
Exercice 1(De l’interpolation polynômiale aux splines). On considère une fonctionfdéfinie et dérivable sur un intervalle[A, B]deR. (1)Étude sur une partie[x0, x1]de[A, B] On considère les réelsx0etx1tels quex0< x1et[x0, x1][A, B]. On note    y=f(x);y=f(x);y= y0=f(x0);11 10 0f(x1). Soitl0etl1les polynômes de Lagrange relatifs au support{x0, x1}. (a) Rappelerl’expression del0(x)etl1(x)pour toutxde[A, B]. (b) Rappeler,sans calculs inutiles, les valeurs de : l0(x0);l1(x1);l0(x1);l1(x0). (c) Pourtoutide{0,1}, on pose :   2 2 b(x1) =2l(x) (xx) [l(x)]etb(x) = (xx) [l(x)]. i ii ii2+ii i (i) Montrerque pour toutjde{0, ...,3}, lesbjsont des fonctions polynômes de degré 3. pour toutjde{0, ...,3}, les nombres d(x)en fo (ii) Calculerérivésbjnction desli(x). 2 (iii) Montrerque les fonctionsbjvérifient, pour tout(i, k)de{0,1}: bi(xk) =iketb2+i(xk) = 0 ;   b(x) = 0etb(x) =i k2+iki k, sachant queikdésigne le symbole de Kronecker. (iv) Montrerque les{bj}forment base deP3, espace vectoriel surRdes fonctions 0j3 polynômes de degré au plus3. 1/4
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