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NOM : Note : Examen Mdian EL40/21,5 Dure : 1H40. Calculatrice non autorise car inutile. Aucun document personnel nest autoris. Le sujet contient un formulaire en annexe.Pour chaque rponse, on expliquera la dmarche qui conduit au rsultat propos. Les expressions mathmatiques seront exprimes littralement avant dtre ventuellement calcules de faon numrique. EXERCICE 1 5,5 (Exercice partiellement extrait des annales dexamen)Considrons la source de tension parfaite e(t) ayant pour e(t) graphe : A t 0 2T0 T -A e(t) est relie  l’entre d’un systme intgrateur parfait. 1)En utilisant les proprits de la Transforme de Laplace (sans passer par le calcul direct), dterminer E(p) la transforme de e(t) (faire apparatre la somme de plusieurs termes) 2)Dterminer VS(p) la transforme de Laplace du signal de sortie Vs(t) du systme intgrateur attaqu par e(t).
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+ Dterminer les limites en 0 et en +v de s(t) ainsi que la + pente de la tangente en 0 de vs(t). 3)Dterminer l’expression de Vs(t) Reprsenter graphiquement Vs(t) Vs(t) t 0 0 T 2T
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EXERCICE 2 5 (Exercice extrait des annales dexamen)Considrons le montage suivant :
Ve
A
I
C
R
v
R1
Kv
Vs
B V S 1)Dterminer la fonction de transfert oprationnelleT(p)=. V e Que deviennentT(p)et v lorsqueK→ +∞? 2)LorsqueK→ +∞, dterminer l’admittance d’entre du montage I (Ye(p)=). V e A quoi le montage encadr est-il quivalent vu des bornes A et B ?
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3,5 EXERCICE 3 (Exercice inspir des annales dexamen)Considrons le montage suivant : C C C VS-KV Ve V R R 1)Dterminer la fonction de transfertT(p)=
2)
V(p) s Ve(p)
Mettre le dnominateur de T(p) sous la forme habituelle d’un second ordre (dterminer sa pulsation propre et son amortissement).
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7,5 EXERCICE 4 Considrons le systme qui a pour squelettes de Bode les courbes fournies en annexes. 1)Que valent les pulsationsωetω1 2 2)Que vaut (en dB) le squelette d’amplitude entreω etω. 2 0 Justifier votre rponse. 3)Donnez une fonction de transfert oprationnelle T(p) qui a les mmes squelettes de Bode. Expliquez votre raisonnement. 4)On applique  l’entre du systme le signalve(t)suivant : ω0ve(t)=E+A cost+B cos(10ω0t) o E, A et B sont des 10constantes. On assimilera les courbes de Bode  leur squelette. Dterminer, en justifiant chacun des termes, l’expression du signal de sortieVs(t)du systme en rgime tabli.
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0dB
-20dB
20Log T(jω)
(T)
1 100 rd/s EL40
2
(+1)
3
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ω2
5
6
ω0
ω1
(+1) signifie pente du premier ordre
7 8 9 1 2 1000 rd/s
3
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8 9 1 2 10000 rd/s
3
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ω
π
π 2
0
π 2
−π
Arg(T(jω))
1 100 EL40
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ω2
5
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ω0
7 8 9 1 1000
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ω1
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(T)
8 9 1 10000
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ω
Formulaire sur la Transforme de Laplace Proprits Usuelles : Unicit. TL x(t)X(p) Unique1 TL et TL 1do x(t)←→X(p)TL X(p)→x(t)Unique Linarit. TL Sif(t)F(p)TL et g(t)→G(p)2 TL (α,β)R ,αf(t)+ βg(t)→ αF(p)+ βG(p)Thorme de drivation. TL Sif(t)  →F(p)dfTL+  →pF p f ()(0)dt + of 0=lim f t. ()+() t0 Thorme d'intgration. TL Sif(t) F(p)+ g 0 TLF(p)() g(t)=f(t)dtG(p)= +p p Thorme du retard. TL Sif(t)u(t) F(p)O u(t) est l’chelon unit TL− τp f(t− τ)u(t− τ)e F(p)(τrel positif)
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Table de transformes de Laplace
F(p) f(t)> 0pour t Fonctions sans intgration 1δ(t)t 11 T e 1+Tp T t 11n1 T nt e n Tp (1+)T(n1)! t t − −1 1 T T 1 2  ee   (1+T1p)(1+T2p)T1T 2 
0 sin(0t)2 2 p+ ω 0 1 avec z < 10zω0t 2 e sinω1z t 2 p p2() 0 1+2z+1z 2 ω ω 0 0 Fonctions avec simple intgration 1 1 p t 1T 1e p(1+Tp) t 1T+t T 21e p(1+Tp)T t t − −1 1T T 1 2 1+T eT e1 2 p 1+1T p +T p TT (1)(2)2 1  1 2   p 1cos(t)0 p1+2 ω0
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Fonctions avec double intgration 1 2t p t 1t T 2Te+ −1p(1+Tp) Tt 1T 2 2t2T+(t+2T)ep(1+Tp) t t − −  1 1 2 T 2 T 2 1  tTT T eT e   2 1 2 2 1   p(1+T1p)(1+T2p)T1T2  n1 1 t nN np (n1)! Fonctions avec zro t 1+apTa aT 2t+e 3 2 1+Tp  ()T T t t − − 1+ap Ta Ta 1 T12 T2 ee 1+1T p +T p (1)(2)T TTT T T 1(1 2)2(1 2) 1+ap t aT T 1+e p(1+Tp) T t t 1+ap− − Ta Ta 1 T12 T2 1+ee p 1+1T p +T p (1)(2) (T2T1)(T2T1) 1+ap t aTT 1+t1e 2 p(1+Tp)  2 T
1+ap 2 p(1+Tp)
t T (aT)1e 
+t
Fonctions avec zro nul t p1 T 2(Tt)e 3 (1+Tp)T t t p− −1 2 1 T T T eT e (1+T1p)(1+T2p)1 2 T T TT 1 2(1 2) 
p 2 2 p+ ω 0
10
cos(
0t)
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