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UTBM suites series fonctions de variable complexe 2008 tc

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le 19 Janvier 2009UTBM MT26Final automne 2008Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-versor´edig´ee `a la mainChaque partie doit ˆetre r´edig´ee sur une feuille diff´erenteIl sera tenu compte dans la ...

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Ajouté le : 21 juillet 2011
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le 19 Janvier 2009 UTBM MT26
Final automne 2008 Calculatricesinterdites.Leseuldocumentautoris´eestune feuille A4 recto-verso re´dig´eea`lamain Chaquepartiedoitˆetrer´edig´eesurunefeuilledi´erente
Ilseratenucomptedanslacorrectiondelapr´esentationetdelar´edactioncorrectedes d´emonstrations.
PREMIERE PARTIE. (12 points)
2 1)De´terminerlede´veloppementens´erieentie`reen0delafonctionf(x) = ln(x5x+ 6)et de´terminersurquelintervalleevd´opel.cevtlabaelepemtnse
P n 2)Justierlefaitquunese´rieentie`reanxde rayon de convergenceRest continue sur n0 ]R, R[.
P n 3) Soitanxdere`etiecndyoranegrevnoecueneine´sreRRd´enit(nO.bn)n0par n0 P n nN,b2n=anetb2n+1=Qu0.eselertlnoyaocedrevncnegtn`iireesae´deleerebnx. n0 Justifier.
4)De´terminerlede´veloppementdeFouriercomplexedelafonction2πuqide´de´p-oireienrsu 2x ]0,2π] parf(x) =edleeFouentdr´eeriere´delerimeppolevdu´end.Ef.
2π Rappel :Soitf:R−→Rune fonction continue par morceaux,T(ep´eriodiquωOn= ) T d´enitlescoefficients de Fourier complexesdefpournZ: Z T 1 inωt cn(f) =f(t)e dt. T 0
5)De´terminerunefonctiondelavariablecomplexef(x+iy) =p(x, y) +i.q(x, y) holomorphe surCavecp(x, y) =xy.
6)De´terminerledomaineded´erivabilit´eausenscomplexedelafonctionde´niesurCpar f(z) =z.(1z¯).
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