Bac S – Mathématiques (obligatoire) – Cours complet !

Sophie Touzet

Description

" ‡ ‡ · ‡ ‡ ‡ ‡ GENERALITES SUR LES SUITES I. Le raisonnement par récurrence. On veut démontrer qu’une propriété dépendant d’un entier naturel est vraie quel que soit cet entier. n n(n +1)* Exemple : Montrer que quel que soit n , k =1+ 2 + ... + n = . ∑ 2k=1 Soit on démontre le résultat directement pour n quelconque : n n(n +1)* Retour à l’exemple : Montrons que quel que soit n , k = . ∑ 2k=1 Considérons la somme écrite une fois avec les termes croissants : 1 + 2 + … + (n – 1) + n une fois avec les termes décroissants : n + (n – 1) + … + 2 + 1 puis sommons termes à termes : (n + 1) + (n + 1)+ … + (n + 1) + (n + 1) ème Pour les k termes on a : k + ((n + 1) – k) = n + 1, et il y a n termes dans chaque somme. n On a donc : 2 k = n(n +1) . ∑ k=1 Soit on utilise un type de raisonnement itératif, appelé raisonnement par récurrence, intuitivement appréhendé jusqu’alors à l’aide de « points de suspension ». Pour démontrer par récurrence qu’une proposition P(n) dépendant d’un entier naturel n est vraie quel que soit n n avec n entier, on procède en deux étapes: 0 0 Première étape: « initialisation ». On vérifie que P(n ) est vraie. 0 Deuxième étape: « hérédité ».

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• Publié par: lewebpedagogique
• Publié le: 31 mai 2010
• Nombre de lectures: 304
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

GENERALITES SUR LES SUITES

I. Le raisonnement par récurrence. On veut démontrer qu’une propriété dépendant d’un entier naturel est vraie quel que soit cet entier. n * n(n#1) ∑ Exemple : Montrer que quel que soit n, k11#2#...#n1 . k11 2 Soit on démontre le résultat directement pour n quelconque : n * n(n#1) ∑ Retour à l’exemple : Montrons que quel que soit n, k1. k11 2 Considérons la somme écrite une fois avec les termes croissants : 1 + 2 + … + (n–1) +n  une fois avec les termes décroissants : n + (n – 1) + … + 2 + 1 puis sommons termes à termes : (n + 1) + (n + 1)+ … + (n + 1) + (n + 1) ème Pour les k termes on a : k + ((n + 1) – k) = n + 1, et il y a n termes dans chaque somme. n ∑ On a donc : 2 k1n(n# 1) . k11 Soit on utilise un type de raisonnement itératif, appeléraisonnement par récurrence, intuitivement appréhendé jusqu’alors à l’aide de « points de suspension ». Pour démontrer par récurrence qu’une proposition P(n) dépendant d’un entier naturel n est vraie quel que soit n³n 0  avec n 0 entier, on procède en deux étapes: Première étape: «initialisation». On vérifie que P(n 0 ) est vraie. Deuxième étape: «hérédité». On suppose que pour un entier n quelconque supérieur ou égal à n 0 , la

proposition P(n) est vraie (c’est ce que l’on appellel’hypothèse de récurrence) ; on démontre alors que la proposition P(n+1) est vraie. Formellement cela revient à montrer : " n ³ n 0  (P(n) ⇒ P(n+1) ) Lorsque les deux étapes sont franchies, on conclut que la proposition P(n) est vraie pour tout n³n 0 . n n(n#1) ∑ Retour à l’exemple : Soit n ³ 1. On note P(n) la propriété : « k1 ». k11 2 1×(1#1) Initialisation: Si n = 1 : 1 = donc P(1) est vraie (c’est toujours l’étape la plus facile !) 2 Hérédité: Soit n ³ 1. On suppose que P(n) est vraie ; montrons que P(n+1) est vraie. n(n#1) On a 1 + 2 +…+ n = (c’est l’hypothèse de récurrence), 2 n(n#1) n(n#1)#2(n#1) (n#1)(n#2) donc 1 + 2 +…+ n + (n + 1) = #(n#1)1 1 . Cqfd. 2 2 2 Conclusionpour tout n: La propriété P(n) est vraie pour n = 1, elle est héréditaire, elle est donc vraie ³ 1.

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II. Généralités sur les suites.

1- Définitions.

Définition 1 :Une suiteest une fonction U, définie sur une partie D de. On note U(n) = U n , on lit « U indice n ». On dit que U n est le terme général de la suite, ou terme de rang n. La suite elle-même est notée (U n ) nÎD ou (U n ). Deux modes de définition d’une suite : Forme explicite : Une suite est définie explicitement lorsque son terme général est exprimé en fonction de n. n#1 Exemple : U n = "nÎ . 2 n#2

Application en physique : A partir d’un signal « analogique » s (fonction dépendant du temps t) on définit un signal « échantillonné » en considérant la suite (s k : s) telle que k s(kT = e ), où T e  est la période d’échantillonnage. Forme récurrente : Une suite est définie par récurrence lorsque l’on donne son (ses) premier(s) terme(s) et que l’on exprime un terme général à l’aide de termes de rangs inférieurs (« relation de récurrence »).  1 11  U 0 12 U 0 1; U 1 Exemples :  ;  ; U U1U#nU pour ³0  n#1 13U n #n2 pour ³0  n#2 n n#1

 U 0 11  U1n×U  n n-1

. … pour n³1

Définition 2 : On dit qu’une suite (U n ) estmajorée(resp.minorée), lorsqu’il existe un réel M supérieur (resp. inférieur) à tous les termes de la suite, c’est-à-dire"n, U n £M (resp. U n ³M ). Une suite qui est à la fois majorée et minorée est dite bornée. Exemple : La suite (U n U) définie par n = cos(n) est majorée par 1 et minorée par -1.

2- Représentation graphique d’une suite. Pour représenter graphiquement la suite (U n ), on place dans un repère les points de coordonnées ( n ; U n ). Pour construire graphiquement une suite définie par récurrence par son terme initial et la relation de récurrence U n+1 = g(U n ) :

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o

o

o

o

on trace dans un repère la courbe C g représentative de la fonction g, et la droite D d’équation x = y ; on place le point M 0 (U 0 ; 0), puis on place sur C g le point A 0 d’abscisse U 0  (on a A 0 (U 0 ; U 1 ) car g(U 0 ) = U 1 ); on place le point B 0 de D ayant la même ordonnée que A 0 (on a donc B 0 (U 1 ; U 1 )) ; on projette B 0 Msur l’axe des abscisses, on obtient le point 1 (U 1 ; 0) ;

o on réitère le procédé en partant de M 1 , pour obtenir M 2 (U 2 ; 0), et ainsi de suite… Remarque : Dans le premier cas (représentation graphique d’une suite connue), on obtient un nuage de points dont les ordonnées sont les termes de la suite.  Dans le second cas (construction graphiqued’une suite définie par récurrence), on obtient des points sur l’axe des abscisses, dont les abscisses sont les termes de la suite.

3- Variations d’une suite. Définition 3 : La suite (U n ) estcroissante(resp.décroissante) lorsque pour tous les entiers n et p de D , si n £ p alors U n £ U p  (resp. U n ³ U p ). Theorème 1 : La suite (U n ) est croissante (resp. décroissante) si et seulement si pour tout entier n de D, U£U (resp. U n ³ U n+1 ). n n#1 Démonstration: -suite (USi la n ) est croissante il suffit de prendre p = n + 1 dans la définition. nÎD, , -Si" U n £U n#1 soient n et p deux entiers tels que  alors n£p, on a :

U n £U n+1 £U n+2 £…£U p-1 £U p .

Techniques pour étudier les variations d’une suite :

soit, si la suite est définie explicitement à l’aide d’une fonction f (i.e."n, U n = f(n) ), on étudie les variations de la fonction f ; 2 Exemple : U n + n + 1,= n "n ³ 0. 2 + La fonction f : x ֏ doncx + 1 est croissante sur IR x + pour 0£n£p, on a : U n £ U p . (U n donc) est une suite croissante. Usoit on étudie le signe de n+1 – U n ; n Exemple : U n = 2 – n,"n ³ 0. n U n+1 – U n = 2 – 1 ³ 0"n ³ 0, donc (U n ) est une suite croissante.

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U n#1 soit, si la suite est à termes non nuls et de signe constant, on compare et 1 ; U n

n 2 Exemple : U n = ,"n ³ 1. ( n ! se lit « factorielle n », c’est le produit de tous les entiers naturels non n! nul inférieurs ou égaux à n : n ! = n × (n – 1) × … ×1). C’est une suite à termes strictement positifs. U 2 n#1 "n ³ 1, 1£1 , donc (U n une suite décroissante.) est # U n n 1

soit on montre par récurrence que U n £ U n+1 (ou U n#1 U n ). £ Exemple : Cas général d’une suite (U n ) définie par récurrence par U n+1 = f(U n f fonction croissante.) avec Soit n. On note P(n) la propriété : « U n £ U n+1 (resp. U n+1 £ U n ) ». On montre par récurrence que P(n) est vraie pour tout entier naturel n : Initialisation: On vérifie par le calcul que U 0 £ U 1 (resp. U 1 £ U 0 ). Hérédité: soit n. On suppose que P(n) est vraie ; montrons que P(n+1) est vraie. On a par hypothèse de récurrence: U n £ U n+1 (resp. U n+1 £ U n ) . On applique la fonction f qui est croissante, on obtient : f(U n ) £ f(U n+1 f(U) (resp. n+1 ) £ f(U n donc) ) U n+1 £ U n+2  (resp. U n+2 £ U n+1 ). Cqfd. Conclusion: La propriété P(n) est vraie pour n = 0, elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout n. (U n ) est une suite croissante (resp. décroissante).

III. Suites arithmétiques. Suites géométriques.

1- Suites arithmétiques. Définition 4 : Une suite est ditearithmétiquelorsqu’il existe un nombre réel r, appelé raison, tel que : "n, U n+1 = U n (ou U+ r n+1  – U n = r). Propriété 1 : (U n ) est une suite arithmétique de terme initial U 0 et de raison r si et seulement si"nÎIN, U n = U 0 + n r. Démonstration : -Soit npropriété « P(n) la U. On note n = U 0 On montre par récurrence que P(n) est + n r ». vraie pour tout entier naturel n : Initialisation: U 0 = U 0 donc P(0) est vraie.+ 0× r Hérédité:soit n. On suppose que P(n) est vraie ; montrons que P(n+1) est vraie. On a par hypothèse de récurrence U n = U 0 + n r , donc U n+1 = U n + r = U 0 + (n+1) r. Cqfd.

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Conclusion: La propriété P(n) est vraie pour n = 0, elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n. -Si"nÎ, U n = U 0 + n r, alors pour tout entier naturel n : U n+1 = U 0 + (n + 1) r = U 0 + n r + r = U n + r, la suite (U n ) est donc une suite arithmétique de raison r. Propriété 2 : Une suite arithmétique est croissante si sa raison est positive, décroissante si sa raison est négative. Démonstration : -Soit (U n ) une suite arithmétique de raison r. Alors pour tout entier naturel n : U n+1 – U n = r donc si r est positif la suite est croissante, si r est négatif, la suite est décroissante. n U#U 0 n Propriété 3 : Soit (U n ) une suite arithmétique, alorsU1(n#1) . ∑ k k10 2 Démonstration: -Soit (U n ) une suite arithmétique. n U#U 0 n  « 1 # ) ». Soit n. On note P(n) la propriété ∑ U k (n 1 k10 2 On montre par récurrence que P(n) est vraie pour tout entier naturel n : U#U 0 0 Initialisation: U 0 = (0# donc P(0) est vraie.1) , 2 Hérédité: Soit n Îℕ . On suppose que P(n) est vraie ; montrons que P(n+1) est vraie.

n#1 # ( n#1 ! (n+1) (U U + - r) + 2 U U 0 U n 0 n+1 n+1 ∑ On a :U k 1(n#1)#U n 1# 1 k10 2 2

U + (n+2) U + U - (n+1) r (n 2)U (n+1) 1 ( n+1 ! # #(n#2)U # 0 n+ 0 n 1 1 1 . Cqfd. 2 2 Conclusion: La propriété P(n) est vraie pour n = 0, elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n. n(n#1) Exemple : 1 + 2 + 3 + ... + n = . 2

2- Suites géométriques. Définition 5 : Une suite est ditegéométriquelorsqu’il existe un nombre réel q, non nul, appelé raison, tel que :"n , U n+1 = q×U n .

Remarque : Lorsque les termes de la suite ( U n ! sont tous non nuls, pour montrer que ( U n ! est

U n#1 géométrique il suffit de vérifier que le quotientest constant. U n

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Propriété 4 : (U n ) est une suite géométrique de terme initial U 0 et de raison q si et seulement si"nÎ, n U n = U 0 ×q . Démonstration : -(U n ) est une suite géométrique de terme initial U 0 et de raison q . n Soit n. On note P(n) la propriété « U n = U 0 ×q ». On montre par récurrence que P(n) est vraie pour tout entier naturel n : 0 Initialisation: U 0 = U 0 × q donc P(0) est vraie. Hérédité: Soit n. On suppose que P(n) est vraie ; montrons que P(n+1) est vraie. n n+1 On a : U n+1 = U n × q= U 0 ×q ×q = U 0 ×Cqfd.q . Conclusion: La propriété P(n) est vraie pour n = 0, elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n. n n+1 n -Si"n, U n = U 0 ×q , alors"n, U n+1 = U 0 ×Uq = 0 ×q×q = U n ×q . La suite (U n ) est donc une suite géométrique de raison q. n Propriété 5 : La suite ( q ! strictement décroissante > 1, < q < 1,si 0 si q est strictement croissante nÎℕ

constante si qq < 0 .et n'est pas monotone si {0 ; 1},

Démonstration:

-

-

-

n#1 q Si q > 0, les termes sont positifs, et " n³0,1q , donc : q n

si q > 1 la suite est strictement croissante et si 0 < q < 1, la suite est strictement décroissante. Si q < 0, les termes de rangs pairs sont positifs, les termes de rangs impairs sont négatifs, la suite n’est donc pas monotone. Si q{0 ; 1}, elle est clairement constante.

n n 1 # 1-q oit (U n ) une suite géométrique de raison q¹1, alors ∑ U k U 0 Popriété 6 : S 1 . k10 1-q

Démonstration: n n k -Soit (U n ) une suite géométrique de raison q¹1. On note S = U1q× U . ∑ k ∑ 0 k10 k10 n+1 On a: S – q S = U 0 – q U 0 .

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