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Génie mécanique, électronique, électrique et arts appliqués 2001 S.T.I (Génie Mécanique) Baccalauréat technologique

25 pages
Examen du Secondaire Baccalauréat technologique. Sujet de Génie mécanique, électronique, électrique et arts appliqués 2001. Retrouvez le corrigé Génie mécanique, électronique, électrique et arts appliqués 2001 sur Bankexam.fr.
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BaccalauréatSTI2001
L’intégraledeseptembre2000àjuin
2001
FranceGéniemécaniqueseptembre2000 ............3
FranceGénieélectroniqueseptembre2000 ..........6
FranceArtsappliquésjuin2001 .......................8
FranceGéniemécaniquejuin2001 ..................10
FranceF11F11

juin2001 ..........................12
PolynésieGéniemécaniquejuin2001 ...............15
FranceGénieélectroniquejuin2001 ................17
LaRéunionGénieélectroniquejuin2001 ...........21
LaRéunionGéniemécaniquejuin2001 .............23L’intégrale2001
2 BaccalauréatSTIFranceseptembre2000
GénieCivil,énergétique,mécanique(AetF)
EXERCICE1 4points
Les trois machines A, B et C d’un atelier ont une production totale de 10000
piècesdumêmetype.
Ellesproduisentrespectivement 2000, 3000 et5000pièces.
Par ailleurs, on constate que le nombre de pièces avec défaut est de 100 pour A, de
120pourBetde150pourC.
1. Recopieretcompléterletableausuivant:
MachineA MachineB MachineC TOTAL
Nombredepièces
sansdéfaut
Nombredepièces 150
avecdéfaut
TOTAL 2000 10000
2. Unepièceestchoisieauhasarddanslaproductiontotale.
Touteslespiècesontlamêmeprobabilitéd’êtrechoisies.
a. Montrerquelaprobabilité p
1
pourqu’elleproviennedeAestégaleà0,2.
b. Montrerquelaprobabilité p
2
pourqu’elleaitundéfautestégaleà0,037.
c. Calculer à 10
−3
près la probabilité p
3
pour qu’elle provienne de B et
qu’ellesoitsansdéfaut.
3. Unepièceestchoisieauhasarddansl’ensemble despiècessansdéfaut.
Toutes ces pièces ayant la même probabilité d’être choisies, calculer à 10
−3
prèslaprobabilitépourqu’elleproviennedeB.
EXERCICE2 4points
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal

O,
− →
u ,
− →
v

d’unité gra-
phique2cm.
1. Résoudredansl’ensembledesnombrescomplexesl’équation
(z−4)

z
2
−2z+4

=0.
2. OnnoteA,BetClespointsd’affixesrespectives:
z
A
=4;z
B
=1+i

3;z
C
=1−i

3.
a. Écrire z
B
et z
C
sousformetrigonométrique.
b. PlaceravecprécisionlespointsA,BetCdansleplancomplexe.
Onferaledessinsurlacopie
c. Calculer |z
B
−z
A
|, |z
C
−z
B
|et|z
C
−z
A
|.
d. EndéduirelanaturedutriangleABC.
3. OnnoteKlepointd’affixe z
K
=−

3+i.
a. PlaceravecprécisionlepointKsurlafigureprécédente.
b. DémontrerqueletriangleOBKestrectangleisocèle.BaccalauréatSTIGénieCivil,énergétique,mécanique(AetF) L’intégrale2001
PROBLÈME 12points
On se propose d’étudier, dans une première partie, quelques propriétés d’une
fonction f dontlareprésentationgraphiqueestdonnée.Ons’intéresse,dansunese-
condepartie,àl’unedesesprimitiveset,dansunetroisièmepartie,aucalculd’une
aire.
Pour tout le problème, le plan est muni du repère orthonormé

O,
− →
ı ,
− →

d’unité
graphique4cm.
PartieA-Étudegraphiqued’unefonction
Soit f lafonctiondéfiniesur]−∞; +∞[par:
f(x)=
2e
2x
−e
x
e
2x
−e
x
+1
.
Ontrouvera sur legraphique ci-après, le tracédela courbeC représentative de
lafonction f etletracédelatangenteTàlacourbeC aupointK(0;1),danslerepère
orthonormé

O,
− →
ı ,
− →

.
OnadmetquelepointKestcentredesymétriedelacourbeC et que le point B(1;
3)appartientàlatangenteT.
12 -1 -2
1
2
3
-1
-2
O
A
K
B
T
C
− →
ı
− →

1. OnseproposededémontrercertainespropriétésdelacourbeC.
a. Étudierlalimitede f en−∞etpréciserl’asymptoteàC correspondante.
b. Onadmetquepourtoutréel x, f(x)peutsemettresouslaforme:
f(x)=
2−e
−x
1−e
−x
+e
−2x
.
En déduirela limite de f en +∞ et préciser l’asymptote àC correspon-
dante.
France 4 septembre2000BaccalauréatSTIGénieCivil,énergétique,mécanique(AetF) L’intégrale2001
c. Vérifier,parlecalcul,quelepointA( −ln2 ; 0) est un point de la courbe
C.
2. Grâceàunelecturegraphique,répondreauxquestionssuivantesenjustifiant
vosréponses.
a. Déterminerlavaleurde f

(0).
b. Donnerlesignede f(x)suivantlesvaleursdex.
PartieB-Étuded’uneprimitivede f sur]−∞; +∞[
Soit F lafonctiondéfiniesur]−∞; +∞[par
F(x)=ln

e
2x
−e
x
+1

.
etΓsacourbereprésentativedanslerepèreorthonormé

O,
− →
ı ,
− →

.
1. Étudier la limite de F en −∞. Interpréter graphiquement ce résultat pour la
courbeΓ.
2. a. Vérifierquepourtoutréel x, F(x)peuts’écrire:
F(x)=2x+ln

1−e
−x
+e
−2x

.
b. Calculerlalimitede F en+∞,puislalimitede F(x)−(2x)en+∞.
c. EndéduirequelacourbeΓadmetunedroiteasymptote.
3. a. Démontrerque f estlafonctiondérivéede F sur]−∞; +∞[.
b. Vérifierque F(−ln2)=ln
3
4
.
c. DéduiredelapartieAletableaudevariationsdelafonction F.
4. Recopieretcompléterletableausuivantendonnantlesrésultatsà10
−2
près:
x −3 −2 −1 0 0,5 1 1,5 2 2,5
F(x)
5. Sur la feuille de papier millimétré, tracer dans le repère

O,
− →
ı ,
− →

d’unités
graphiques 4 cm, les droites d’équations respectives y = 2x et y = 0, puis la
courbeΓ.
PartieC-Calculd’uneaire
1. Calculerlavaleurexactede

0
−ln2
f(x)dx.
2. En déduire la valeur exacte en cm
2
de l’aire du domaine AOK (grisé sur la
courbe jointe) et en donner une valeur approchée à un millimètre carré près
parexcès.
France 5 septembre2000BaccalauréatSTIFranceseptembre2000
Génieélectronique,électrotechnique,optique
EXERCICE1 5points
1. Résoudredansl’ensembleCdesnombrescomplexesl’équation
z
2
−6z+12=0.
2. a. Dansleplanmunid’unrepèreorthonormal

O,
− →
u ,
− →
v

d’unitégraphique
1cm,placerlespointsAetBimagesrespectivesdesnombrescomplexes
z
A
=3+i

3etz
B
= z
A
où z
A
désigne le nombre complexe conjugué de
z
A
.
b. Écrire z
A
et z
B
souslaforme re

avec r >0etθréel.
3. a. Calculer
z
A
z
B
.
b. Endéduireque z
B
=z
A
e
−i
π
3
etinterprétergéométriquement cerésultat.
4. On pose : z

= z−2+i

3. On note T la transformation géométrique du plan
quiàtoutpointd’affixe zassocielepointd’affixez

.
a. CaractérisercettetransformationT.
b. Calculer l’affixe z
D
del’imageDdupointAparcettetransformation.
c. Calculerl’affixedupointCtelqueABCDsoitunparallélogramme.
d. CompléterlafigureenplaçantCetD.
EXERCICE2 4points
SoientIetJlesintégralesdéfiniespar:
I=
π
2
0
e
−x
sinxdx et J=
π
2
0
e
−x
cosxdx.
1. Soit f et u lesfonctionsdéfiniessurl’intervalle [0; +∞[par:
f(x)=e
−x
(cosx−sinx)e tu(x)=e
−x
sinx.
a. Montrerque u estuneprimitivede f.
b. Endéduirelavaleurexactedel’intégraleK=
π
2
0
f(x)dx.
2. a. Déterminer f

(x)oùf

désignelafonctiondérivéede f.
b. Endéduirelavaleurexactedel’intégraleJ.
3. a. DéterminerunerelationentreI,JetK.
b. Endéduirelavaleurexactedel’intégraleI.
PROBLÈME 11points
Soit f lafonctiondéfiniesurRpar:
f(x)=

x
2
+x+2

e
x
2
.
Soit (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal

O,
− →
ı ,
− →

,
unité:2cm.BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique L’intégrale2001
1. a. Déterminerlalimitede fen+∞.
b. Enremarquantque:
f(x)=

1+
1
x
+
2
x
2

x
2
e
x
2
.
et en admettant que lim
x→−∞

x
2
e
x
2

=0, déterminer lalimite de f en −∞.
Quepeut-onendéduirepour(C)?
2. a. Calculer f

(x).Montrerque:
f

(x)=
1
2

x
2
+5x+4

e
x
2
.
b. Étudierlesignede f

(x).
Endéduireletableaudevariationsde f.
3. Déterminer uneéquation deladroite(D),tangente à(C)ensonpointd’abs-
cisse−2.
4. Recopieretcompléterletableaudevaleurs:
x −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 0,5 1
f(x)
Lesvaleursde f(x)serontarrondiesavecdeuxdécimales.
Représenter(D)puis(C)danslerepère

O,
− →
ı ,
− →

.
5. Soit g lafonctiondéfiniesurRpar:
g(x)=

ax
2
+bx+c

e
x
2
,
où a, b et c sontdesconstantesréelles.
Calculer g

(x).Déterminerlesnombres a, bet c pourque g soituneprimitive
de f surR.
6. Calculerlavaleurmoyennede f surl’intervalle [−4;0].
France 7 septembre2000BaccalauréatSTIFrancejuin2001
Artsappliqués
Durée:2heures Coefficient:2
EXERCICE1 8points
Un atelier fabrique une série d’autocollants qui peuvent être de couleur bleue
oujaune,deformerondeoucarrée,avecousansliseré.
Onarécapitulélesquantitésproduitesdansdeuxtableaux:
FONDJAUNE
ronde carrée
avecliseré 800 1200
sansliseré 1300 1700
FONDBLEU
ronde carrée
avecliseré 1000 1500
sansliseré 900 1600
A - En utilisant les données précédentes, recopie et remplir toutes les cases des ta-
bleauxcidessous:
FORMERONDE
jaune bleue Sous-total
avecliseré
sansliseré
Sous-total
FORMECARRÉE
jaune bleue Sous-total
avecliseré
sansliseré
Sous-total
B-Onprélèveauhasardl’undesautocollantsproduits.Onnotelesévènements :
R:«préleverunautocollantrond»;
C:«préleverunautocollantcarré»;
J:«préleverunautocollantjaune»;
B:«préleverunautocollantbleu»;
L:«préleverunautocollantavecliseré»;
L:«préleverunautocollantsansliseré»;
1. OnappelleΩl’ensemble desautocollantsproduits.
Quelestlenombred’éléments deΩ?
2. Quelestlenombred deR,J,L,etL?
3. Calculerlaprobabilitédesévènements suivants:
a. R ∩L∩J;
b. R∩L;
c. C;
d. C ∪ B;
e. C ∪ B.
N.B.Lesrésultatsserontdonnés,envaleurexacte,sousformedenombresdécimaux
avecdeuxchiffresaprèslavirgule.
EXERCICE2 12points
Onconsidèrelafonctionfdéfiniesur


3
2
; +∞

par
f(x)=4e
x
−e
2x
.
On désigne par (C)sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère or-
thonormal

O,
− →
ı ,
− →

,dontl’unitégraphiqueest2cm.BaccalauréatSTIArtsappliqués L’intégrale2001
1
ère
partie:Étudedelafonction f.
1. Calculerlalimitede f(x)quandx tendvers−∞.
Endéduireque(C)admetuneasymptotedontonpréciserauneéquation.
2. a. f

désigneladérivéede f sur


3
2
; +∞

.
Montrerque f

(x)=2e
x
(2−e
x
).
b. Résoudre dans R l’inéquation 2−e
x
>0etendéduirelesignedef

(x)
sur


3
2
; +∞

.
c. Dresserletableaudevariationsde f.
2
e
partie:Courbe(C)etapplications.
1. Résoudre,dans


3
2
; +∞

,l’équationf(x)=0.
Interprétergraphiquement lerésultat.
2. Tracer (C)danslerepère

O,
− →
ı ,
− →

.
3. Déterminer graphiquement l’ensemble des solutions de l’inéquation f(x)
0.
3
e
partie:Calculd’uneaireetapplication.
On désigne par (P) la partie du plan limitée par (C), l’axe des abscisses, et les
droitesd’équations x=−5etx =ln4.
1. a. Calculer

ln4
−5
f(x)dxet,àl’aided’unecalculatrice,endonnerunevaleur
approchéeà10
−2
,près.
b. Endéduirel’airede(P).
2. Ondésignepar(P

),lesymétriquede(P)parrapportàl’axedesabscisses.
Laréuniondesdomaines(P)et(P

)représenteunlogo,àl’échelle
1
8
,pourune
enseignepublicitaire.
Entenantcomptedurésultatprécédent,calculerl’aireencm
2
,puisenm
2
,de
celogo.
France 9 juin2001BaccalauréatSTIFrancejuin2001
GéniemécaniqueAetF,énergétique,civil
Durée:4heures Coefficient:4
L’usagedescalculatricesestautorisépourcetteépreuve
Lecandidatdoittraiterlesdeuxexercicesetleproblème.Ilseratenucomptedela
clartédesraisonnements etdelaqualitédelarédactiondansl’appréciation des
copies.
Leformulaireofficieldemathématiques estdistribuéenmêmetempsquelesujet.
Cesujetnécessite2feuillesdepapiermillimétré.
EXERCICE1 5points
Leplan complexe estrapportéàunrepèreorthonormal

O,
− →
ı ,
− →

d’unité gra-
phique1cm.OnconsidèrelespointsA,B,Cd’affixesrespectives:
z
A
=

3+3i; z
B
=2

3e tz
C
=2i.
1. PlacerlespointsA,BetCdansleplancomplexe(surpapiermillimétré).
2. Déterminerlemoduleetunargumentdunombrecomplexe z
A
.
3. a. Calculerlesmodulesdesnombrescomplexes z
A
−z
C
, z
B
−z
A
et z
B
−z
C
.
EndéduirelanaturedutriangleABC.
b. Déterminer l’affixe ducentre K ducercle (Γ)circonscritau triangle ABC
préciserlerayonr dececercle.
c. MontrerquelepointOappartientaucercle(Γ).
4. OnconsidèrelepointD,d’affixez
D
=2e
−i
π
6
.
a. Montrer,que z
D
=

3−i.
b. Calculerl’affixedumilieuMdusegment[AD].
c. DémontrerquelequadrilatèreABDCestunrectangle.
EXERCICE2 4points
1. Résoudrel’équationdifférentielle :4y

+y =0.
2. Déterminer la solution particulière de cette équation différentielle vérifiant



f(π) =

3
f

(π) =−
1
2
.
3. Montrerquecettesolution f vérifie,pourtout x réel: f(x)=2cos

x
2

π
3

.
4. Résoudredansl’ensembledesnombresréelsl’équationd’inconnue x : f(x)=
1;endonnerlessolutionsappartenantàl’intervalle [0;4π[.BaccalauréatSTIGéniemécaniqueAetF,énergétique,civil L’intégrale2001
PROBLÈME 11points
Danstoutleproblème,leplanestrapportéàunrepèreorthogonal

O,
− →
ı ,
− →

(uni-
tésgraphiques:2cmsurL’axedesabscisses,1cmsurl’axedesordonnées).
Soit f lafonctiondéfiniesur]−∞; +∞[par:
f(x)=3e
−x
+2x−4.
PartieA:Constructiondelacourbereprésentativede f
1. a. Déterminerlalimitede f en+∞.
b. Vérifier que f(x) = e
−x
(3+2xe
x
−4e
x
). Déterminer alors la limite de f
en−∞.
c. Soit(C)lacourbereprésentativede f etsoit(D)ladroited’équation: y =
2x−4.Montrerque(D)estasymptoteà(C)en+∞etétudierlaposition
relativedeladroite(D)parrapportàlacourbe(C).
2. a. Calculerladérivéede f Résoudrel’inéquationd’inconnueréellex : −3e
−x
+
20.
b. Dresserletableaudevariationde f.
c. Donnerune équation dela tangente (T)àlacourbe(C)aupointd’abs-
cisse0.
d. Déterminerlesvaleursexactesduminimumetdumaximumdelafonc-
tion f surl’intervalle [-2;5].
3. Tracer (C), (D) et (T) dans le repère

O,
− →
ı ,
− →

,pourxvariantde-2à5(sur
papiermillimétré).
PartieB:Calculd’uneaire
1. Chercheruneprimitivede f sur]−∞; +∞[.
2. a. Montrerque l’équation f(x)=0 admet sur ]1; 2[ une unique solutionα
dontondonneraunevaleurapprochéeaudixièmeprès.
b. Préciser,enlejustifiant,lesignede f(x)surl’intervalle ]α; +∞[.
c. Calculer, en cm
2
, l’aire du domaine plan limité par la courbe (C), l’axe
des abscisses et les droites d’équation x = α et x = 4. En donner une
valeur approchée en utilisant pour α la valeur approchée trouvée pré-
cédemment.
France 11 juin2001BaccalauréatF11-F11

Francejuin2001
Durée:2heures Coefficient:2
EXERCICE 8points
Onconsidèrelafonction f définiesurRpar:
f(x)=e
x

4−e
x

.
Ondésignepar f

lafonctiondérivéede f.Ondonneci-dessouslacourbereprésen-
tativeC de la fonction f dans le repère orthogonal d’unités graphiques 2 cm pour
lesabscisseset1cmpourlesordonnées.
-4 -3 -2 -1 0 1 2
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
O
1
1
A
B
E
C
1. a. Étudierlalimitedelafonction f en+∞.
b. Étudier la limite de la f f en −∞. Interpréter graphiquement le
résultatobtenu.
2. a. Calculer f

(x).
b. DétermineruneéquationdelatangenteàlacourbeC aupointAd’abs-
cisse0.
c. LatangenteàlacourbeC aupointBestparallèleàl’axedesabscisses.
CalculerlescoordonnéesdeB.
d. Étudier lesigne de f

(x)surRpuis dresserletableaudevariationsdela
fonction f.BaccalauréatF11-F11

L’intégrale2001
3. a. Calculer les coordonnéesdupoint d’intersection EdelacourbeC etde
l’axedesabscisses.
b. Par lecture graphique, déterminer le nombre de solutions de l’équation
f(x)=1puisencadrerchaquesolutionpardeuxentiersconsécutifs.
PROBLÈME 12points
IOnconsidèreunefonction f dé-
finiesurl’intervalle ]0; +∞[par:
f(x)=ax+b+
2
x
o?aetbdésignentdeuxnombres
réels.
La courbe C ci-contre est la
courbereprésentative dela fonc-
tion f dans un repère orthonor-
mald’unitégraphique1cm.
-1 0 1 2 3 4 5
-2
-1
0
1
2
3
4
5
O
1
C
1
1/2
1. a. Ondésigne par f

la fonction dérivée delafonction f.Calculerf

(x)en
fonctionde a et x.
b. Sachantque f

1
2

=0etf

(1)=0,déterminerlesvaleursdesréels a etb.
2. Par lecture graphique :
a. déterminerlavaleurentièrede f(2).
b. déterminerlesignede f(x)surl’intervalle ]0; +∞[.
3. Onpose a=2etb=−5.
a. Montrerqueladroiteà∆d’équation y =2x−5estasymptoteàlacourbe
C en+∞.
b. ÉtudierlapositionrelativedelacourbeC etdeladroite∆surl’intervalle
]0; +∞[.
IIOnconsidèrelafonction g définiesur]0; +∞[par:
g(x)=x
2
−5x+2lnx.
OnappelleΓsacourbereprésentativedansunrepèreorthonormal

O,
− →
ı ,
− →

d’unité
graphique2cm.
1. a. Déterminerlalimitedelafonction g en0.Quepeut-onendéduirepour
lacourbeΓ?
b. Vérifierque g(x)= x

x−5+2
lnx
x

puis déterminer lalimite dela fonc-
tion g en+∞.
France 13 juin2001BaccalauréatF11-F11

L’intégrale2001
2. a. Montrer que la fonction g est une primitive de la fonction f sur l’inter-
valle ]0 ; +∞[. En déduire les variations de la fonction g sur l’intervalle
]0; +∞[.
b. Donner les valeurs exactes de g(1)et de g(2) puis les valeurs décimales
approchéesà10
−1
prèspardéfaut.
c. Dresserletableaudevariationsdelafonction g.
3. a. Recopieretcompléterletableauàl’aidedesvaleursdécimalesarrondies
à10
−1
de g(x).
x 0,2 1 2,5 3,5 4 5
g(x)
b. Tracer les tangentes à la courbe parallèles à l’axe des abscisses puis la
courbeΓdanslerepère

O,
− →
ı ,
− →

.
France 14 juin2001BaccalauréatSTIFrancejuin2001
GéniemécaniqueB,C,DetE,géniedesmatériaux
Calculatriceautorisée
Session2001
GénieMécaniqueB,C,DetE,géniedesmatériaux
Durée:4heures Coefficient:4
Lecandidatdoittraiterlesdeuxexercicesetleproblème.Ilseratenucomptedela
clartédesraisonnements etdelaqualitédelarédactiondansl’appréciation des
copies.
Leformulaireofficieldemathématiques estdistribuéenmêmetempsquelesujet.
Cesujetnécessite2feuillesdepapiermillimétré.
EXERCICE1 5points
1. Résoudredansl’ensembleCdesnombrescomplexesl’équationen z :
z
2
−6z+13=0.
2. a. Déterminerlesréels b et c telsquepourtoutcomplexe z :
z
3
−9z
2
+31z−39=(z−3)(z
2
+bz+c).
b. EndéduirelessolutionsdansCdel’équationenz : z
3
−9z
2
+31z−39=0.
3. Le plan complexe est rapporté àun repère orthonormal

O,
− →
u ,
− →
v

(unité :2
cm).
SoientA,B,EetFlespointsd’affixesrespectives
z
A
=3+2i, z
B
=3−2i, z
E
=5+ie t z
F
=3.
a. Placerles points A,B, E et F dans le plan complexe (sur papier millimé-
tré).
b. Calculer les distances FA, FB et FE. En déduire que les points A, B et E
appartiennentàuncercle(Γ)decentreF.
c. QuelleestlanaturedutriangleABE?
EXERCICE2 4points
1. Résoudrel’équationdifférentielle (E): y

+y =0.
2. Ondésigne par f lasolution particulièrede(E)dontlacourbereprésentative
dansunrepèreorthonormalpasseparlepointdecoordonnées(0;1)etadmet
encepointunetangenteparallèleàladroited’équation y = x.
a. Déterminer f(0)et f

(0).
b. Endéduireuneexpressiondef(x)enfonctiondex.
c. Vérifierquepourtoutréel x, f(x)=

2cos

x−
π
4

.
3. Calculer la valeur moyenne de f sur l’intervalle [0 ; π], c’est-à-dire le réel m
définipar:
m=
1
π
π

0
f(x)dx.BaccalauréatSTIGéniemécaniqueB,C,DetE,géniedesmatériaux L’intégrale2001
PROBLÈME 11points
PartieI
Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[parg(x)=− x+xlnx (où ln désigne le
logarithmenépérien).
1. Résoudredansl’intervalle ]0; +∞[,l’équation g(x)=0.
2. Résoudredansl’intervalle ]0; +∞[,l’ g(x)>0.
PartieII
Soit f lafonctiondéfiniesur]0; +∞[par:
f(x)=−
3
4
x
2
+
1
2
x
2
lnx.
Onappelle(Γ)lacourbereprésentativede f danslerepèreorthonormal

O,
− →
ı ,
− →

(uni-
tés:2cm).
1. Déterminer lim
x→+∞
f(x)etlim
x→0
f(x).
2. Montrer que f

(x) = g(x). Utiliser les résultats de la partie I pour établir le
tableaudevariationsde f.
3. Calculer f

e
3
2

.Onferaapparaîtreledétaildescalculs.
4. SoitAlepoint de(Γ)d’abscisse1.détermineruneéquationdelatangente(T)
enAàlacourbe(Γ).
5. Tracerdanslerepère

O,
− →
ı ,
− →

latangente(T)ainsiquelapartiedelacourbe
(Γ)relativeàl’intervalle [0;6].
6. Soit F lafonctiondéfiniesur]0; +∞[par:
F(x)=
1
6
x
3
lnx−
11
36
x
3
.
a. Montrerque F estuneprimitivede f sur]0; +∞[.
b. Calculer en cm
2
l’aire dudomaine limité danslerepère

O,
− →
ı ,
− →

,par
la courbe (Γ),l’axe desabscisses et les droites d’équation x =1etx =e.
Onendonneralavaleurexacte,puisunevaleurapprochéeà10
−2
près.
France 16 juin2001BaccalauréatSTIFrancejuin2001
Génieélectronique,électrotechnique,optique
Unformulairedemathématiques estdistribuéenmêmetempsquelesujet.
Ilestrappeléauxcandidatsquelaqualitédelarédaction,laclartéetla
précisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedans
l’appréciationdescopies.
LECANDIDATTRAITERAOBLIGATOIREMENTLES2EXERCICESETLE
PROBLÈME
Durée:4heures Coefficient:4
EXERCICE1 4points
Soit l’équation différentielle (E) : 4y

+9y =0,oùy est une fonction de la
variable t et y

sadérivéeseconde.
a. Résoudrel’équation différentielle(E).
b. Trouverlafonction f,solutionparticulièrede(E),vérifiantlesconditions
suivantes:
f

π
6

=

2e tf

π
6

=0.
c. Vérifierque,pourtoutréelt, f(t)=

2cos

3
2
t−
π
4

.
d. Déterminerlavaleurmoyennede f surl’intervalle

0;
π
6

.
EXERCICE2 4points
Unjeudehasardconsisteàintroduireunebilledansletubed’unemachine.
Cette machine possède trois portes P
1
,P
2
et P
3
qui ferment ou ouvrent les
accèsauxquatresortiespossibles s
1
,s
2
,s
3
ets
4
.
Unsystèmeélectroniquepositionnealéatoirementcestroisportespuislibère
labille.
s
1
s
2
s
3
P
1
(fermée)
P
2
(ouverte)
P
3
(fermée)
Entréede
labille
NB : surle schéma les portes P
1
et P
3
sont fermées, la porte P
2
est ouverte, la
billesortirapars
2
.
a. Énumérer dans un tableau comme ci-dessous, en s’aidant éventuelle-
mentd’unarbredechoix,touteslespositions simultanées possiblesdes
trois portes et indiquer la sortie imposée à la bille pour chacune de ces
configurations.BaccalauréatSTIFrancejuin2001 L’intégrale2001
P
1
P
2
P
3
sortie
....... .......
F O F s
2
....... ......
ParconventiononnoteraFuneporteferméeetOuneporteouverte.)
b. Onsupposequeleshuitévènements élémentaires,trouvésàlaquestion
1,sontéquiprobables.
i. Soit A l’évènement (F; O; F).Quelle est la probabilité p(A)del’évé-
nementA?
ii. Soit S
1
l’évènement «la bille sort par s
1
», S
2
l’évènement «la bille
sort par s
2
», S
3
l’évènement «la bille sort par s
3
», S
4
l’évènement
«labille sortpars
4
».Calculerles probabilités p(S
1
), p(S
1
), p(S
1
)et
p(S
1
)dechacundecesévènements.
c. Pourjouer,ondoitmiser7francs.
Si la bille sort par s
1
, on ne reçoit rien. Si la bille sort par s
2
on reçoit 5
francs.
Silabillesortpars
3
onreçoit10francs.Silabillesortpars
4
,onreçoit20
francs.
On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque sortie possible, associe
legainoulaperteen francsdujoueur(entenant compte delamise des
7francs;parexemple:àlasorties
4
, X associe13)
i. Quellessontlesvaleursprisespar X ?
ii. Présenterdansuntableaulaloideprobabilitéde X.
iii. Calculerl’espérance mathématique E(X)deX.
d. On veut modifier la mise afin que le jeu soit équitable, c’est-à-dire que
E(X)soitégaleàzéro.Déterminercettenouvellemiseenjustifiantlaré-
ponse.
Génieélectronique,électrotechnique,optique 18BaccalauréatSTIFrancejuin2001 L’intégrale2001
PROBLÈME 12points
Surlegraphiqueci-dessous,C estlacourbereprésentative,danslerepèreor-
thonormal

O,
− →
ı ,
− →

,d’unefonction f définiesurR.
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
O
L:y =2
D:y=−7
y =3x
C y = f(x)
− →
ı
− →

ln3
PartieA
La droite L, d’équation y =2, est tangente à la courbeC au point d’abscisse
ln3.
La droiteT,d’équation y =3x, est tangente àla courbeC au point d’abscisse
0.
La droite D, d’équation y=−7, est asymptote à la courbeC au voisinage de
−∞.
Déterminer,àl’aidedecesdonnées,lesréelssuivants:
a. f(0)et f(ln3);
b. f

(0)et f

(ln3);
c. lim
x→−∞
f(x).
PartieB
On admet que, pour tout réel x, f(x)= ae
x
+b+
c
e
x
+1
où a, b et c sont des
constantesréelles.
a. i. Déterminerenfonctiondesréels a, b et c,lesnombressuivants:
f(0); f(ln3); lim
x→−∞
f(x).
ii. Endéduireunsystèmed’équationsvérifiéespar a, b,etc.
Résoudrecesystèmeetendéduireque f(x)=−e
x
+9−
16
e
x
+1
.
b. Déterminerlalimitede fen+∞.
Génieélectronique,électrotechnique,optique 19BaccalauréatSTIFrancejuin2001 L’intégrale2001
c. i. Calculer f

(x),pourtoutréel x.
ii. Vérifier que, pour tout réel x : f

(x) =
e
x
(e
x
+5)(3−e
x
)
(e
x
+1)
2
et en dé-
duireletableaudevariationsdelafonction f.
PartieC
Onrappelle que f(x)=−e
x
+9−
16
e
x
+1
pourtoutréel x.
a. Vérifierque,pourtoutréelx : f(x)=−e
x
−7+16
e
x
e
x
+1
.
b. i. Déterminerl’abscissedupointdintersectiondelacourbeC avecla
droiteDd’équation y=−7.
ii. ÉtudierlapositiondeDparrapportàC.
c. Soit F lafonctiondéfiniesurRpar:
F(x)=16ln

e
x
+1

−e
x
−7x.
i. Montrerque F estuneprimitivede f.
ii. Endéduirelavaleurdel’intégraleA =

ln15
0
[f(x)+7]dx.
iii. Interprétergéométriquementl’intégraleA.
Génieélectronique,électrotechnique,optique 20BaccalauréatSTILaRéunionjuin2001
Génieélectronique,électrotechnique,optique
EXERCICE1 4points
a. Résoudrel’équation différentiellesuivante:
(E) y

+9y =0
où y est une fonction numérique de la variable réelle x deux fois déri-
vablesurR.
b. Déterminerlasolutionparticuliére f del’équation (E)quivérifie:
f(0)=

2e tf

π
3

=3

2.
c. Montrerque,pourtoutréel x, f(x)=2cos

3x+
π
4

.
d. i. Résoudresurl’intervalle [0; 2π[l’équationf(x)=−

2.
ii. Représenterlessolutions decetteéquationsurlecercletrigonomé-
trique.
EXERCICE1 5points
Dansleplancomplexemunid’unrepèreorthonormal

O,
− →
u ,
− →
v

d’unité gra-
phique 2 cm, on considère les points A, B et C d’affixes respectives z
A
, z
B
,et
z
C
définiespar:
z
A
=2+2i ; z
B
=−2+2i; z
C
=−

3+i,
oùidésignelenombrecomplexedemodule1etd’argument
π
2
.
a. i. Déterminerlemoduleetunargumentdechacundesnombrescom-
plexes z
A
, z
B
,etz
C
.
ii. PlacerdefaçonpréciselespointsA,BetCdanslerepère

O,
− →
u ,
− →
v

.
b. i. Calculer |z
A
−z
B
|
2
et |z
A
−z
C
|
2
, puis interpréter géométriquement
lestroismodules.
ii. EndéduirelanaturedutriangleABC.
c. OnconsidèrelarotationRdecentreOetd’angle −
π
3
.Pourtoutpoint M
du plan, on désigne par M

l’image de M par la rotation R : M

=R(M).
LesaffixesrespectivesdeM et M

sontnotées z et z

.
i. Exprimer z

enfonctionde z.
ii. SoitA

=R(A).Calculersousformeexponentielle l’affixe z
A
dupoint
A

.
d. i. Préciserlemoduleetunargumentde z
A
.
ii. Déterminerlaformealgébriquede z
A
.
iii. Déduiredesquestionsa.etb.lesvaleursexactesdecos

π
12

etsin

π
12

.BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique L’intégrale2001
PROBLÈME 11points
PartieA:
Onconsidèrelafonction g définiesurRpar:
g(x)=(x−3)e
−x
.
a. Etudierles variationsde g.(Onne demandepasles limites en +∞eten
−∞).
b. Calculer g(4)etendéduirelesignede g surR.
PartieB:
Soitlafonction f définiesurRparf
f(x)=(2−x)e
−x
−x+3
etC sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal

O,
− →
ı ,
− →

d’unitégraphique2cm.
a. Calculerleslimites delafonction f en+∞eten−∞.
b. i. Calculerladérivée f

delafonction f.
ii. Déduireàl’aidedelapartieAlesvariationsdelafonctionf.
iii. Dresserletableaudesvariationsdelafonction f.
c. i. Montrer que la droiteD d’équation y=− x+3estasymptoteàla
courbeC en+∞.
ii. Étudier, suivant les valeurs de x,lapositiondeC par rapport à la
droiteD.
d. i. Montrer que l’équation f(x)=0 admet une solution unique α,ap-
partenantàl’intervalle[2; 3].
ii. Donnerunencadrementdeαd’amplitude 10
−1
.
e. Tracer la droiteD etlacourbeC dansle planmuni durepèreorthonor-
mal

O,
− →
ı ,
− →

.
f. Lafonction h estdéfiniesurRpar
h(x)=(2−x)e
−x
.
Déterminer les réels a et b pour que la fonction H définie par H(x) =
(ax+b)e
−x
soituneprimitivedelafonction h surR.
g. Soit t unréelsupérieurà2.
Déterminer,enfonctiondet,l’aireA(t)encm
2
delapartieduplancom-
priseentrelacourbeC,ladroiteD et les droites d’équations x =2et
x =1.
Déterminer lim
t→+∞
A(t).
LaRéunion 22 juin2001BaccalauréatSTILaRéunionjuin2001
Géniecivil,énergétique,mécanique(AetF)
EXERCICE1 5points
OndisposededeuxurnesU
1
etU
2
.
L’urne U
1
contient 4 boules rouges portant respectivement les numéros 0, 1,
2, 4etl’urne U
2
contient 3boules vertesportantrespectivement les numéros
1,3,5.
On tire au hasard et simultanément une boule de l’urne U
1
et une boule de
l’urneU
2
.
• adésignelenumérodelabouletiréedeU
1
et b celuidelabouletiréedeU
2
.
• z estlenombrecomplexedontlapartieréelleest a etlapartieimaginaire b.
On suppose que les écritures algébriques z = a+ib possibles sont équipro-
bables.
Les probabilités demandées seront données sous forme de fractions irré-
ductibles.
a. Dresserunelistedetouteslesécrituresalgébriquespossiblesde z.
b. Calculerlaprobabilitédechacundesévènements suivants:
i. E
1
:«z =1+3i»,
ii. E
2
:«z+z =2».
c. On désigne par A l’évènement «le module de z est 5», et par B L’évène-
ment« z estunimaginairepur».
i. Calculer la probabilité de l’évènement A puis celle de l’évènement
B.
ii. Définirparunephrasel’évènement A∩B.
Calculerlaprobabilitédecetévènement.
iii. Endéduirelaprobabilitédel’évènement A∪B.
d. Ondésignepar X lavariablealéatoirequi,àchaquetirage,associe a+b.
i. Quellessontlesvaleursprisespar X ?
ii. Déterminerlaloideprobabilitéde X.
iii. Calculerl’espérance mathematique E(X)deX.
EXERCICE2 5points
Onappelle f lafonctionnumériquedéfiniesurl’intervalle [0; 1]par:
f(x)=e
x
−1.
On désigne par (C)la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un
repèreorthonormal

O,
− →
ı ,
− →

;unitégraphique10cm.
a. Représenterlacourbe(C).
b. i. Calculer

1
0
f(x)dx.BaccalauréatSTIGéniecivil,énergétique,mécanique(AetF) L’intégrale2001
ii. En déduire que la valeur moyenneµ de f sur l’intervalle [0 ; 1] est
égaleàe−2.
Donnerl’arrondiaucentièmedeµ.
Ondésignepar(P)lapartieduplanlimitéeparlacourbe(C),l’axe
des abscisses et la droite d’équation x = 1, et par (R)lapartiedu
plan limitée parladroited’équation y =µ,l’axedesabscisses, l’axe
desordonnéesetladroited’ x =1.
c. i. Représenter(P)et(R)enutilisantdeshachures.
ii. Justifierlefaitque(P)et(R)ontlamêmeaire.
d. On désigne par V
1
le volume, exprimé en unités de volume, du solide
engendréparlarotationdelapartie(P)autourdel’axedesabscisseset
parV
2
celuidusolideengendréparlarotationdelapartie(R)autourdu
mêmeaxe.

Onrappelleque V
1
=

1
0
[f (x)]
2
dx

.
OnseproposedecomparerV
1
etV
2
.
i. CalculerlavaleurexactedeV
1
.
ii. CalculerlavaleurexactedeV
2
.
iii. Calculer la valeur exacte de V
1
−V
2
puis donner un arrondiau mil-
lième.
Conclure.
PROBLÈME 10points
Leplanestmunid’unrepèreorthonormal

O,
− →
ı ,
− →

.
PartieA:Déterminationd’unefonction
Onconsidèrelafonctionϕ,définiesurl’intervalle ]−1;+∞[par:
ϕ(x)=a−(bx+1)ln(x+1),
où a et b sontdeuxnombresréels.
La courbe

C
ϕ

, représentative de la fonction ϕ, satisfait aux conditions sui-
vantes:

C
ϕ

passeparlepointAdecoordonnées(0; e),

C
ϕ

passeparlepointBdecoordonnées(e−1;0).
a. Déterminer a puis b.
b. Endéduireϕ(x).
PartieB:Étuded’unefonctionettracédesacourbereprésentative
Onappelle f lafonctiondéfiniesurl’intervalle ]−1;+∞[par
f(x)=e−(x+1)ln(x+1).
Ondésignepar(C
f
)sacourbereprésentative.
a. i. Démontrerque la limite de f en−1 est égaleàe. (Onadmettra que
lim
x→0
X lnX =0).
ii. Calculerlalimitede f en+∞.
LaRéunion 24 juin2001BaccalauréatSTIGéniecivil,énergétique,mécanique(AetF) L’intégrale2001
b. i. Démontrer,enlarésolvant,quel’équation f

(x)=0admetuneunique
solution,notéeα,dansl’intervalle ]−1;+∞[.
Donnerunevaleurexactepuislavaleurdécimalearrondieà10
−2
de
α.
ii. Étudierlesensdevariationsde f surl’intervalle ]−1;+∞[.
iii. Calculer la valeur exacte de f(α) et sa valeur décimale arrondie à
10
−2
.
c. Dresserletableaudevariationsde f.
d. i. Calculer les coefficients directeurs des tangentes (T
1
)et(T
2
)âla
courbe(C
f
)auxpointsd’abscissesrespectives0ete−1.
ii. Tracerlestangentes(T
1
)et(T
2
)etlacourbe(C
f
).(Unitégraphique:
5centimètres).
PartieC:Calculd’uneaire
a. Soit G lafonctiondéfiniesurl’intervalle ]−1;+∞[par:
G(x)=
1
4
(x+1)
2
[2ln(x+1)−1].
VérifierqueG estuneprimitivedelafonctionqui,àx associe(x+1) ln(x+
1).
Endéduireuneprimitive F de f.
b. On désigne par (P) la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses,
l’axedesordonnéesetlacourbe(C
f
).
i. Représenter(P)surlafigureprécédenteenutilisant deshachures.
ii. Calculerlavaleurexactedel’airedelapartiehachurée,encm
2
.Don-
nersavaleurdécimalearrondieà10
−2
.
LaRéunion 25 juin2001