Cette publication est accessible gratuitement
Lire

Mathématiques 2003 S.T.I (Génie Optique) Baccalauréat technologique

5 pages
Examen du Secondaire Baccalauréat technologique. Sujet de Mathématiques 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2003 sur Bankexam.fr.
Voir plus Voir moins
Baccalauréat STI Génie électronique
Francejuin 2003
EXERCICE14 points 1. a.Dans l’ensemble des nombres complexesC, résoudre l’équation d’in connuez 2 z8z+32=0. b.Écrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle. π i 2.Soit le nombre complexe 4e. Donner sa forme algébrique. 3   3.O,Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormalu,vd’unité graphique 1 cm, on donne les points A, B et C d’affixes respectives :
zA=4+4izB=44izC=2+2i 3.   a.O,Placer les points A, B et C dans le repèreu,v. b.Montrer que le triangle ABC est rectangle.
EXERCICE25 points On considère un circuit électrique fermé comprenant un condensateur dont la capacité, exprimée en farads, a pour valeur C, une bobine dont l’inductance, expri mée en henrys, a pour valeur L et un interrupteur. Le tempstest exprimé en secondes. À l’instantt=0, on suppose le condensateur chargé, on ferme l’interrupteur et le condensateur se décharge dans le circuit. On appelleq(t) la valeur de la charge, exprimée en coulombs, du condensateur à l’ins tantt. On définit ainsi une fonctionq, deux fois dérivable sur l’intervalle [0 ;+ ∞[, dont la dérivée première est notéeq. On admet que la fonctionqest solution de l’équation différentielle
1  (E) :y+y=0 LC  yest définie et deux fois dérivable sur [0 ;+ ∞[ et de dérivée secondey. 32 Dans tout l’exercice on prend C =1,25×L = 0,510 et×10 . 1. a.Montrer queqest alors solution de l’équation différentielle 5 (E) :y+1,6×10y=0. b.Résoudre l’équation différentielle (E). c.Déterminer la solution particulièreqde (E) vérifiant :
3q(0)=6×10 etq(0)=0. 2.On sait que la valeuri(t) de l’intensité, exprimée en ampères, du courant qui parcourt le circuit à l’instanttvérifiei(t)= −q(t) . On définit ainsi une fonc tionisur l’intervalle [0 ;+ ∞[.
a.Vérifier que, pour touttappartenant à l’intervalle [0 ;+ ∞[
i(t)=2,4 sin(400t).
Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique
π 400400 b.Calculer :cos(800t) dt. π0 c.On désigne par Iela valeur, exprimée en ampères, de l’intensité efficace dans le circuit. Son carré est donné par la formule :
PROBLÈME
π 400400 2 2 I=i(t) dt. e π0
1 2 2 Calculer I(on pourra utiliser la formule sina=(1cos 2a), puis don e 2 3 ner une valeur approchée de Ieà 10près, sachant que Ieest un nombre positif.
11 points
Partie A   On donne, dans le plan muni d’un repère orthogonalO,ı,, d’unités gra phiques 3 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées, la représenta tion graphique (C) d’une fonctiongdéfinie, dérivable et strictement croissante sur l’intervalle ]1 ;+ ∞[ ainsi que deux droites (T ) et (D). La droite (T) passe par les points de coordonnées respectives (2; 0) et (0;3). La droite (D) a pour équation y=1. 3 (T) 2
1 −→ −→ ı 0 0 1 1
2
3
4
5
6
2
(D)
(C) 3 4
1. a.Déterminer graphiquementg(2). b.Sachant que la droite (T) est tangente à la courbe (C) au point d’abscisse 2, déterminer graphiquementg(2). c.On admet que la droite (D) est asymptote à la courbe (C). Déterminer graphiquement la limite deg(x) quandxtend vers+∞. d.Sachant que la courbe (C) coupe l’axe des abscisses en un seul point, étudier graphiquement le signe de la fonctiongsur l’intervalle ]1 ;+ ∞[.
France juin 2003
2
Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique
2.On définit les fonctionsg1,g2etg3sur l’intervalle ]1 ;+ ∞[ par :
1 2 g1(x)=1;g2(x)=1;g3(x)=ln(x1). 2 x1xx L’une d’elles est la fonctiongque l’on se propose d’identifier en utilisant les résultats de la première question.
a.Calculerg1(2),g2(2) etg3(2). Ces résultats permettentils d’éliminer une des trois fonctions? b.Calculer limg1(x) ;limg2(x) etlimg3(x). x→+∞x→+∞x→+∞ Quelle fonction peuton alors éliminer?   c.On notegetgles fonctions dérivées respectives deg1etg2. 1 2   Calculerg(2) etg(2) puis conclure. 1 2
Partie B Soitfla fonction définie sur l’intervalle ]1 ;+ ∞[ par
f(x)=x+1+2 lnx2 ln(x1). On note (Cf) la courbe représentative de la fonctionfdans le plan muni d’un   repère orthogonalO,ı,d’unités graphiques 3 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées. 1. a.Quelle propriété de la fonction logarithme népérien permet de prouver que, pour tout réelxappartenant à l’intervalle ]1 ;+ ∞[,   x f(x)=x+1+?2 ln x1 b.Déterminer la limite defen 1. Que peuton en déduire pour la courbe (Cf) ? 2. a.Déterminer la limite defen+∞. b.Justifier que la droite (D) d’équationy=x+1 est asymptote oblique à la courbe (Cf). x c.Montrer que pour toutxde l’intervalle ]1 ;+ ∞[,>1. x1   x Quel est alors le signe de lnpourxappartenant à ]1 ;+ ∞[ ? x1 d.En déduire la position de la courbe (Cf) par rapport à la droite (D). 3. a.Déterminer la fonction dérivéefde la fonctionfet vérifier que, pour toutxappartenant à l’intervalle ]1 ;+∞[,f(x)=g(x) oùgest la fonction trouvée dans lapartie A. b.À l’aide des résultats graphiques obtenus dans lapartie A, dresser le ta bleau de variations de la fonctionf.
Partie C 1.Montrer que, sur l’intervalle ]1 ;+ ∞[, la fonctionHdéfinie par
H(x)=xlnx(x1) ln(x1)
est une primitive de la fonctionhdéfinie parh(x)=lnxln(x1) sur cet intervalle.
France juin 2003
3
Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique
2. a.Sur la feuille annexe jointe, à rendre avec la copie, on a représenté la courbe (Cf). Sur cette figure, représenter la droite (D) et hachurer la partie du plan comprise entre la droite (D), la courbe (Cf) et les droites d’équationsx=2 etx=3. b.On désigne parAla valeur de l’aire, exprimée en unités d’aire, de la par tie du plan hachurée précédemment. Donner la valeur exacte deApuis 2 une valeur décimale approchée à 10près par excès.
France juin 2003
4
9
8
7
6
5
4
3
2
Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique
1 −→ −→ ı 0 O0 1
France juin 2003
1
Annexe : représentation de la courbe (Cf) À rendre avec la copie
2
5
3
4
5
Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin