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Mathématiques 2010 S.T.L (Chimie de Laboratoire et de procédés industriels) Baccalauréat technologique

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Examen du Secondaire Baccalauréat technologique. Sujet de Mathématiques 2010. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2010 sur Bankexam.fr.
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BACCALAURÉATTECHNOLOGIQUESESSION2010MATHÉMATIQUESSérie:SCIENCESETTECHNOLOGIEDELABORATOIRESpécialité:CHIMIEDELABORATOIREETDEPROCÉDÉSINDUSTRIELSDURÉEDEL'ÉPREUVE:3heuresCOEFFICIENT:4Dupapiermillimétréestmisàladispositiondescandidats.L'utilisationd'unecalculatriceestautorisée.Unformulairedemathématiquesestdistribuéauxcandidats.Lecandidatdoittraitertouslesexercices.Lecandidatestinvitéàfairefigurersurlacopietoutetracederecherche,mêmeincomplèteounonfructueuse,qu'ilauradéveloppée.Ilestrappeléquelaqualitédelarédaction,laclartéetlaprécisiondesraisonnementsentrerontpourunepartimportantedansl'appréciationdescopies.
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Exercice1(4points)ݕ" ൅ 25ݕ ൌ0 1)Résoudrel'équationdifférentielle,yestunefonctiondelavariableréellet,définieetdeuxfoisdérivablesurl'ensembleRdesnombresréels.2)Déterminerlafonctionf,solutiondel'équationdifférentielleprécédente,quivérifielesconditions݂ߨ3݂ߨ5 suivantes:et.݂ሺݐሻ ൌ2cos ቀ5ݐ ൅3)Vérifierque,pourtoutnombreréelt .2 cos ݔൌ1 4)a)RésoudredansRl'équation.݂ݐ1 b)EndéduirelessolutionsdansRdel'équation.E xe r c ic e2(5p oi nt s )Unconteneurcontient100flaconsdemêmecapacité,remplisd'unesolutionliquidecontenantunproduitPetdoséedelamanièresuivante:5flaconssontremplisd'unesolutiondoséeà10%duproduitP;30flaconssontremplisd'unesolutiondoséeà20%duproduitP;40flaconssontremplisd'unesolutiondoséeà30%duproduitP;
20flaconssontremplisd'unesolutiondoséeà40%duproduitP;
5flaconssontremplisd'unesolutiondoséeà50%duproduitP.
Ontireauhasardunflaconduconteneur.
Onadmetquetouslesflaconsontlamêmeprobabilitéd'êtretirés.OnappelleXlavariablealéatoirequi,àchaquetiraged'unflacon,associelenombreexprimantlepourcentagedelasolutioncontenuedansceflacon.Ainsi,siontirel'undescinqflaconsdontlecontenuestdoséà10%,Xprendlavaleur10.1)Donner,sousformed'untableau,laloideprobabilitédelavariablealéatoireX.ܧሺܺሻ, 2)Calculerl'espérancemathématiquedelavariablealéatoireX.3)Déterminerledosagedelasolutionobtenueenmélangeantlecontenudes100flaconsdansunmêmerécipient.4)Danscettequestion,toutetracederecherche,mêmeincomplète,oud'initiativemêmenonfructueuse,serapriseencomptedansl'évaluation.LeproduitPétanttoujoursdosésoità10%,soità20%,soità30%,soità40%,soità50%,onsouhaiteMaths FranceSTL 2010Page 2
ܧܺ29,2 obtenirenmodifiantledosagedelasolutioncontenuedansunseuldesflacons.Proposerunemanièredeparveniràcerésultat.Pr ob l èm e(11p o i nt s )ଶ ଶ ሿ0 ;൅∞ሾ ݂ሺݔሻൌ ݔെ ݔln ݔ ൅ 1 Onc ons i dèr el afonc t i onfdé fi n i es u rl ' i n t e r v a l l epar:ݔ݈݊ ݔ 1 )D ét e r m i ne rl alimi tedel afonc t i onfen0(onr a p pe l l eq u elal i mi t edelo rsq uexte n dve r s0est0 ).ሿ0 ;൅∞ሾ 2 )V é r i f i e rqu e ,pourt ou tn o m br erée lxap pa rte na n tàl ' i nt er v a l le,݂ሺݔሻ ൌݔቀ െln ݔቁ ൅ 1 .൅∞ E nd é d u i r el ali mi t ed el af onc t i o nfe n.3 )O nd és i g nepa rf'l ad ér i vé edelaf onc ti o nf݂ ሺݔሻ a)Calc ul er.ሿ0 ;൅∞ሾ ݂ሺݔሻ ൌ2ݔሺ1 െ lnݔሻ V é r i f i e rqu e ,pourt ou tn o m br erée lxap pa rt e na n tàl ' i n t e r v a l le,.݂ ሺݔሻ b )É t ud i e rl esi gnedesuivantl e sv a l e u r sdex .൅∞ 4 )D o n n e rlet a bl e a ud ev a r i a t i ond el afonc t i onfIndiqu erl e sl i mi te se n0e ten ,a i n s iq uel ava l e u rdel ' e xt re m u md elaf on c ti o nf.݂ሺݔሻ ൌ0ߙ ሾ4; 5ሿ 5 )M o nt r e rq uel' équati ona dm etu n es ol ut i onu ni q u ed a n sl' i n t e r v a l l e.D ét er m i ne rିଵ ߙ 10 u ne n ca dr e me ntded' a m pl it u de.6 )O nn oteClac o u r b er e p r é s e nt a t i v ed el afonc t i onfda n sl ep l a nmu nid' u nr ep èreort h onorméܱ;Ԧ;Ԧ( u n it ég ra p hi q u e:1c m) .ߙ Tra c e rlac our b eC( fa i refi gu re rs url etr a c élep oin tAd el ac o u r b eC).d' a b sc is seଵଵ ଵ ଷ ଷ ሿ0 ;൅∞ሾ ݃ሺݔሻൌ ݔ െ ݔ lnݔ ൅ ݔ. 7 )O nc on si dè r elafo nc t i ongd é f i ni esu rl ' i nte r va ll eparV é r i f ie rሿ0 ;൅∞ሾ q u el afo nct i onge stu n ep r im i t i v ed el afonct i onfs url' i n t er v al le.8 )O nc on si dè r eled o m ai n eDlimi tép a rl ac o u r beC,l ' a x edesabsc is se setlesd r oi t esd 'é q uat i on sݔ22ݔ4 res p ec t i veset.ܣ Ca lc ul e rl' ai r ed ud om a in eD .
ܣ D o n n e ru n eva l e ura p p r o c héedeauc e n t iè m e.
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