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L3MASS2005/06.Syste`mesdynamiques.TD3[Corrig´e]
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Exercice 1 Onconsid`erel´equationdie´rentielledansleplan ddddtxty == acxx ++ dbyy avec a b c d R t.q. ( a + d ) 2 > 4 ( ad bc ) (1) 1. On pose X = yx .Ve´rierque (1) ⇐⇒ ddXt = A X ou` A designe une matrice (2 × 2) que l’on explicitera. ´ 2.D´eterminerlesvaleurspropres λ 1 , et λ 2 , de la matrice A en fonction de sa trace tr( A ) ,etdesond´eterminant de´t( A ) . 3. Soit V 1 , et V 2 deuxvecteurspropresassocie´sauxvaleurspropres λ 1 , et λ 2 . Montrer que ( V 1  V 2 ) forment une base de R 2 .Re´soudrelesyst`eme die´rentiel(1)danscettebase. 4.D´ecrirelesportraitsdephases,etdiscuterlecomportementdessolutions, dans les trois cas suivants : 1) λ 1 < λ 2 < 0 2) 0 < λ 1 < λ 2 3) λ 1 < 0 < λ 2 Solution : 1. On a clairement (1) ⇐⇒ ddX = A X avec A = cabd t 2.Lepolynoˆmecaracte´ristiquede A estdonn´epar p ( λ )=de´t( A λI )=d´et a cλdb λ = ( a λ )( d λ ) bc = ( ad bc ) λ ( a + d ) + λ 2 = λ 2 λ tr( A )+d´et( A ) = λ tr(2 A ) 14 × tr( A ) 2 4d´et( A )