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M1Math2008/09.Syste`mesdynamiques.TD4 Exercice1(Equationline´aris´eedupendule:II) Onconside`rel´equationdi´erentielleline´airedusecondordre 002 x=a xaveca >0 (1) 1ulosnoitnnoDalredelettceeng´ra´erilee´udE.dnEeODquednuniutioasolu Proble`medeCauchypour(1),avecunedonne´einitialearbitraire: 0 x(t0) =x0, x(t0) =x1,(2) etmontrerquelessolutionsnonconstantessontpe´riodiquesdep´eriodeT= (2π)/a. 2t(anco1)´eenivcrlusestatcrev´rsedreremieror`tmedepummuesnsyrtuoeR 0 X=A X,(3) ou`X:= (x, y). et en appliquant Cauchy-Lipschitz. Peut-on affirmer a priori que lasolutionestde´nieglobalement?R´esoudreexplicitement(3)endiagonalisant la matriceAqieuirdopte´senosetertrequainfouttlsetosseituldsno?(e)mtno doncd´eniespourtouttemps.
1 22 2 3On poseH(X) =H(x, v) :=(v+a x). Montrer que la fonction : 2 tE(t) :=H(x(t), v(t)) est invariante au cours du temps : on dit que le syst`eme(3)estconservatif,etqueHseutu-re`i(edeR.)3orteinneegt´leraempr ver ainsi, sans utiliser la forme explicite des solutions, que toute solution locale de(3)estborn´eeind´ependammentdutemps.Quend´eduisez-vous?Physique-ment,E(ttnliq´ueetnoetrgiem´)eecsateqieulpla(eic´nlliedue)pousntte.tsyseme`
4Cette question est une reformulation de la question 2. On pose maintenant 0 x=a yetY(t) := (x(t), y(t)).Ecrirelesyst`emideere´eitnnillai´edureemprrie ordre 0 Y=M Y,(4) ve´rie´parY(.) := (x(.), y(.)) et montrer que la matriceM.eu´eymiqtraenst-sti Quels sont ses valeurs propres et ses vecteurs propres? Calculer la matrice exp (tM).
5On noteZ=Y0´eng´eomiqtruetellsnarmrofoitaQ.eu(e)4ladeinit´eeidonnla corresponda`lapplicationZ7→exp (tM)Z?
Exercice 2 Cet exercice de proies et repre´sentela
(Lotka-Volterra) apourobjetle´tudedunmod`elededynamiquedespopulations depre´dateurs.Lunedesdeuxfonctionsinconnuesx(t) ouy(t) concentration en proies (sardines?) et l’autre la concentration en