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` ` A PROPOS DES SPHERES SOUS-RIEMANNIENNES
L. RIFFORD
Abstract.onsqontrlabuendeceescnmeniuobrteanisimsuoNme´d singulile`re,lafonctiondistancesous-riemannienne,localementlipschitzi-ennehorsdeladiagonale,v´erieunth´eore`medeSard.Onende´duitque lessph`eressous-riemanniennessontdeshypersurfaceslipschitziennes pour presque tout rayon dansdSR(q0, Q).
Abstract.We prove that, in absence of singular minimizing curve, the sub-riemannian distance function is locally Lipschitz outside the diagonal and satisfies Sard’s theorem.Hence we deduce that the spheres are Lipschitz hypersurfaces for almost every radius indSR(q0, Q).
1.Introduction Nousavonsde´montr´ere´cemmentdans[6]quepourtoutevarie´te´riemanni-ennelisseettoutpointx´esurcelle-ci,presquetouteslessph`eresg´eod´esiques centr´eesencepointsontdeshypersurfaceslipschitziennesdelavari´ete´; lobjectifdecettenoteestdemontrerque,sousdebonneshypoth`eses,ce re´sultatrestevraidanslecassous-riemannien. 2.serianimile´rP Pourtoutcomple´mentsurlesnotionsintroduitesdanscespre´liminaires, on renvoie le lecteur aux deux textes [4] et [5]. 2.1.Structures sous-riemanniennes.SoitQonecxenerivat´´euenCde dimensionnstructure sous-riemannienne sur. UneQdola`andpoesrrcoee´nn d’un couple (D, g)o,u`Dest une distribution satisfaisant la condition du rang,eto`ugmee´tsnueuirrtqinienemanrnesueD. On rappelle qu’une distribution surQalceessrotcdleibr-ve´euenstusso CdeT Q, et que celle-ci satisfait la condition du rang si, pour toutqQ, Lie(D)[q] =TqQ. 2.2.Courbes horizontales.Une courbe horizontale (sur [0,1]) est une courbe absolument continueγ: [0,1]Qtelle que pour presque tout t[0,1], γ˙ (t)∈ D[γ(t)]. Pourchaque pointq0sedanx´Q, l’ensemble des 2 courbes horizontalesγvalantq0pourt= 0 et dont la normeLr,de´neiap s Z 1 g,q0 kγk:=g(γ˙,˙γ)dt 2 0 estnie,estunevarie´te´hilbertiennedeclasseC; on la note Ωq0. Universit´edeParis-Sud,D´epartementdeMath´ematiques,Baˆtiment425,91405Orsay cedex, France (Courriel:ludovic.rifford@math.u-psud.fr). 1