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AnalyseIIUniversite´ClaudeBernardprintemps2008che3 Exercice 1 Donnerpourchacunedesfonctionspropose´escidessousune´quivalentsimple: 8 6 3 a)f(x) =x+ 5x6xquandx0 8 6 3 b)f(x) =x+ 5x6xquandx+8 6 3 c)f(x) =x+ 5x6xquandx2 8 6 3 d)f(x) =x+ 5x6xquandx1 7 22x5 9x+1 e)f(x) =x+x+ (lnx) +e+ 4xxquand+ 5x+Exercice 2 ´ Etablir pour chacune des fonctionsfe´dnusuomeppolevees´porossdeiscpimitentl´edefrorda`len0en propose´: x2 2 a)f(x) =e(n= 5)b)f(x) = ln(1 +x) (nc)= 6)f(x2) = sinx+ cosx(n= 7) ln(1 +x) 3x d)f(x) =esin 2x(n= 4)e)f(x) =(nf)= 3)f(x) = tanx(n= 5) 1 +x ln(1 +x) ln(1+x) 1/x g)f(x() =nh)= 3)f(x) = (1 +x) (n= 3)i)f(x) =(n= 3) x2 esinx(1 +x)   xshx 2 j)f(x() = shnk)= 4)f(x() =n= 4)l)f(x) =11x(n= 3) 1 +x1 + shx Exercice 3 2 1 +ax De´terminerlesr´eelsaetbpour que cosxeltpenimninunitsordaesuistetidrouepossib´elev´eq 2 1 +bx au voisinage de 0. Exercice 4   1 3 Soitfrapioctolnafien´endf(x) =xsin pourx6= 0 etf(0) = 0. x 1) Montrer quefardre2en0.tnemimil`e´tolaetdmd´unelevpeop 2) La fonctionfsetleeled0?enelbavire´dsiofxu Exercice 5 x+a Pouraonnctilafonitdne´´xoeeel´rfaparfa(x) = Arctan. 1ax 1) Soitneeleonp0p`ealmeenrtulnidm´ietv´e´etmrnirnoeridtreeD.unne´ed´oniveralofcnitedf. a 2) Soitkth´entlelisanutiroYaTlyemedroe`eledirdu´e,dngoue´ce´rpnoitseuqaedtnlevalauedreitneE.renu (k) fa(0). 3) Soitme`eme´rolyroedaTngetYouestilaqu´ce´rpno´,etnedereriecutnen.reitunEsilitdanouenauvethle unde´veloppementlimit´een0a`lordremdefa. Exercice 6 Calculerleslimitessuivantes(sanspr´esupposerleurexistence!): xx eesin 3x1cosx+ ln(cosx) a) limb) limc) lim 3 4 x0x0x0 sinx3xsin 2x x 2 2 tanxsin 2xln(cos 2x) 2 1/x d) lime) lim(cosxlim) f) x(1cos 3x3) ln(cosx) x0x0x0    x x 1 11e1 1e1 g) limh) limln i)lim ln x2 x0x0x+x(e1)xx xx x Exercice 7 Calculerunde´veloppementlimite´ouasymptotiquedelafonctionf:pour chacun des cas suivants 2 a)f(x) =xlnxuo`xdrola`t;5erters1endve b)f(x) =2 +xo`uxre0stea`lrord3e;dvent c)f(x) = ln(2 +xu`)oxtvdne0srea`teorle2dr; π d)f(x) = sinxuo`x;3erdrola`tersvendte 4
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