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Table des matières
1 Arnaud Beauville. La théorie de Hodge et quelques applications 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Un petit peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Cohomologie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Cohomologie de De Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Variétés complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Structures de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Structures de Hodge de poids 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Le diviseur Θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 L’espace de modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Cas des courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Le problème de Schottky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Sur les démonstrations du théorème de Torelli . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Structures de Hodge du type courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Digression : le problème de Lüroth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Structures de Hodge de poids supérieur ou égal à 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Structures de Hodge de poids 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Une structure de Hodge de type K 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 En général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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