7 jours d'essai offerts
Cet ouvrage et des milliers d'autres sont disponibles en abonnement pour 8,99€/mois

Publications similaires

Quelle direction pour l'école du XXIe siècle ?

de rapports-enseignement-travail-formation

Autourdunr´esultate´l´ementaire
M. Tibouchi 22 mai 2004
Re´sume´ Commepromis,maisavecuncertainretard,jeproposeiciunesolutionproprea` l’un des exercices du 21 janvier, avec en prime quelques remarques culturelles s’y rap-portant.Touslescommentaires,demandesd´eclaircissements,corrections,remarques 1 orthographiques ou autres, sont les bienvenus.
1 Chosepromise, chose due. Ilsagissaitdemontrerquepourtoutpolynoˆmeftiens,ercietsentnatoca`nonsnoc ilexisteuneinnit´edenombrespremiersptels quefait une racine modulop. Posons a=fsˆeurrnsiueppnosle,uettbononnup,)uq0(g(X) =f(aX). Tous les coefficients degsont divisibles para,donconpeut´ecrrieg(X) =ag0(X), avecg0aponˆlye`om coecientsentiers,demeˆmedegre´quefant´eri,etvg0(0) = 1. Il suffit de montrer que l’ensemble des nombres premiers modulo lesquelsg0a une racine est infini. Supposons par l’absurde qu’il n’y en ait qu’un nombre fini, et notonsmleur produit. Commelepolynˆomeg0(mX) n’est pas constant, il prend surZuenavelruneite`ertuaer que±1, et il existe un entierxet un nombre premier`tels que`|g0(mx). Alorsg0a en particulier une racine modulo`, donc`|m. Mais alors : g0(mx)g0(0)1 (mod`) quiestlacontradictionrecherch´ee. On n’a fait, finalement, que tirer un peu sur la corde de la preuve d’Euclide qu’il yauneinnite´denombrespremiers.Etilestassezremarquablequonpuisseobtenir autantavecsipeudemoyens,carlesr´esultatsanaloguespluspre´cissontconsid´erable-2 ment plus difficiles. 1 JeremercieenparticulierGae¨tanChenevier,C´edricPe´pinetAlexandrePilkiewiczpourleurlectureet leurspr´ecieusesremarques. 2 Cependant,contrairementa`cequindiquaituneversionante´rieuredecettenote,ler´esultatselonlequel pour toutfdenoit´eixnisnt,eiulneesimrepserbmerpmodulo lesquelsfeste´dnics(i.e. le fait que Spl(f) estinni,aveclesnotationsduparagraphe3)estencore´ele´mentaire,meˆmesilrequiertunattirailunpeu plusfourni.Envoiciunede´monstration,suivantunexercicepropose´parGa¨etanChenevierenTDdalg`ebre. Soitα1, . . . , αnles racines defdansC, etk=Q(α1, . . . , αnrosposcn)elsaD.e`rpsipoontid´deomec
1