7 jours d'essai offerts
Cet ouvrage et des milliers d'autres sont disponibles en abonnement pour 8,99€/mois

CAPUT VIII
DE QUANTITATIBUSTRANSCENDENTIBTJS
EX CIRCULOORTIS
126. Post etlogarithmos considerariquantitates debentexponentiales
arcus circulares sinus et non solum aliudeorumque cosinus, quia quantitatum
transcendentium sed etiam exgenus constituunt, etipsis logarithmis expo-
nentialibus, quando imaginariis idquantitatibus involvuntur, proveniunt, quod
infra clarius patebit.
Ponamus radium circuli seu sinum totum esse =1ergo satisatque
huius circuli in numerisliquet peripheriam rationalibus exacte nonexprimi
autemposse; inventa estper approximationes semicircumferentia huius cir-
culi esse1)
= 3,14159 26535 8979323846 2643383279 50288419716939937510
58209749445923078164062862089986280348253421170679
82148 0865132823 06647 09384 46+,
Hune valorem EuLERus el) TH.deprompsit F. DELAGNYdissertatione, quam scripsit
Mémoiresur la du sur la mesurede(1660–1784): quadrature cercle,et tout tout secteuretarc,
tout Mém.de l' acad.d. se. de Parissegmentdonné, 135. ConferL. Euleri1721, p.(1719),
Commentationem74 Devariismodiscireuli(indicis numerisËnestroemiani): quadraturam proxime
Comment. acad. se 9exprimendi, LeonbardiPetrop. Euleri(1737), 1744, p. 222; Opéra
series vol.14.omnia, I,
cehtesimamdecimam DELAGNYdederat etFiguram EULERUStertiam, qualem tradiderat,
falsam non esse adnotavitG.DEesse,quippequae8, 7, Vegadebeat, in(1756-1802) libro,qui
inscribiturThesaurus 633. A. K.logarithmorumcompletus,Lipsiae1794,p.126-128PRIMI CAPUT VIIITOMI [93§134
scribamnuméro brevitatis ergopro quo
n,
cuius radius seu n eritita ut sit n = semicircumferentiae circuit, = 1, longi-
180tude» arcus graduum.1)
radiumarcum huius circuli cuius127. Denotante z perpe-quemcunque,
solent sinus et cosi-huius arcus z considerarituo assumo == 1, potissimum
in hoc modo indicabonus. Sinum autem arcus z posterum
sin.sin. A. z seu tantum z,
vero hoc modocosinum
cos. z.cos. A. z seu tantum
eritcum n sit arcus 180°,Ita,
= 1cos. ()tt =sin. On 0,
ut nunc id est unaAnte Eulerum huiusmodi rationes non breviter signo singulari, littera,1)
notabilessed verbis circumscribebantur. Exstant quidemcopiose pluribus excep-designabantur,
in inscribitur Mathesis Norim-J. CHR.Sturmtiones. Sic libro, qui enucleata,apud (1635 – 1703)
diameter alieuius circuli81: autem hinc est ponatur ai1689, p. Promptum inferre, silegiturbergae
illius nomen de-ea enim inter eas ratio,fuerit potestappellari posse (quaecumquecircumfereniiam
rationem circumferentiae ad diametrumetiam W. Joneslittera Quine).signari (1675 – 1749)
matheseos or newvide W.a. 1706 littera palmariorumJoNES, Synopsisipsa designaverat;
hune de-London 243. Verumtamen Eulerusintroduction to the mathematics, primus1706, p.
sive motus scientiareddidit Iam in inscribitur Mechanicamodum generalem. libro, quisignandi
JEuleri series vol. 1 etLeonsardi1736, Opera omnia, II, 2, saepe-analytice exposita, Petropoli
ad diametrum littera it denotaverat. Litterased non constanter rationem circumferentiaenumero
Variae observationes circa seriesin Commentatione 72invenitur praeterea (indicis Enestroemiani):
Leoneardt EuleriComment. acad. se. 9 Opera omnia,infinitas, Petrop. 1744, p. 160;(1737),
uti etiam in nonnullis14. In 74 nota laudataseries vol. quidem praecedentiI,
usus litteraeEulerus loco ? sed inde ab eodissertationibus prae-p temporeprioribus scripsit,
fiebat edita esset.valebat et mox omnino cum haee Introductiogeneralis, praesertim
circuli vide F.De historia numeri n et omnino de historia ârchimedes,RUDIO,quadraturae
etVier iiber die etc., 1892,Lambert, Legendre, Kreismessung LeipzigÂbhandlungenHUYGENS,
K.1913. A.W. the aE. Squaring circle, Tiistory of tlie problém, CambridgeHobson,DE TRANSCENDENTIBUS EX CIRCULO ORTISQUANTITATIBUS93-94] 135TOMI PRIMI CAPUT136 Vni §128–129 [94–95
Hinc substituendo etc. eritloco y n,arcus -^n, yTt
= + cos. « = -j- cos. zsm. l-r- n-z\ sin. (– tt – sj
= – sin. z sin. z= +cos. I – n-z\ cos. – n – z)
– – *==sin. sin. z sin. sin. z-f-(n-z) (71 – #)
cos' cos. zcos. = -cos.*(* + *) ^)
= –=» – sin. cos. «sin. cos. z (jn – 0)(~ rc + s)
– – sin. «=+sin.^ cos.(|-7r – z)cos.(y7r + s)
= –sin. sin. z sin. sin. z=+(2^ + ^) (2?r – z)
= =cos. cos. z cos. cos. z++(2?r + ^) (2?r – *)
numerum eritSi denotetergo w integrum quemcunque,
= cos. z+ sin.sin. cos. z= +(^~n-z) (^^n – z)
== – sin. «sm. z
z)cos. (– ~– n-z) ) cos.( – – n –
2/4w+2 /4n+2 –– –== ==n–n zsin.sm. sin.sin. zsm. sm. sm.-f +sïr.z+z)( – 2 7i-z) ( – A
2/4w +/4w + 2 = – cos. zcos. cos. z cos.
( – – n – z) = –( – -= – n-z)
/4w + 3/4w + 3 = – sm. cos. zsm. cos. z z) = –( – – n –( – – n-z) )
/4w + 3/4w+3 = –sm. z sm. z
cos. ( – -1 – n – z))cos. ( – ^– n + z) = +
/4n + 4/4w + 4 === sm. – sm. zsm. sm. z++ ^J ( – – n – z )))( -– – ?r
== cos. cos. zcos- e ++) ( – – n-–z) )cos. ( – K–nJt- z
affirmativus sivesive n sit numerusformulae veraeQuae negativussunt,
integer.DE TRANSCENDENTIBUS EXQUANTITATIBUS CIRCULO ORTIS95-96] 131
of on .0:1.
arcuum. ex his sinus et cosinus ita se habebunt:compositorum
sin. cos.0 = p 0 =» q
sin. cos.(y -{- 0) =*mq+ np (y + ^)== nq – mp
sin. == 2 mnq +(2y + 0) (nn – mm)p 2.mnpcos.(2y z) = (nn – mm)q –
sin. cos.+ = (3wm2 – +(3y z) = (^3~m*)q (3y 0) 3m?n)q
+ (w3– 3m2w)j) – (3 m,n* – mz)p
etc. etc.
Arcus isti
etc.z, y + 2, 2y + 0, 3y + 0
in arithmetica eorum vero tam sinus cosinusprogressione progrediuntur, quam
recurrentem ex denominatoreprogressionem constituunt, qualis
EULERILeokhabw omnia Is inIntroductio infinitorum 18Opera analysinTOMI PRIMI138 CAPUT Vin § 129– 131 [96
itemque
et
arithmetica tambeneficio arcuum inCuius progredientiumprogressionelegis
formarisinus cosinus, libuerit, expedite possunt.quousquequam
addendis vel subtrahendisvelhiserit expressionibus
estQuia porro
atque
erit modopari
Sit
y
ex his formuliserit postremis
sinus et cosinus.eius semissisunde ex dato cosinu cuiusque anguli reperiunturDE TRANSCENDENTIBUS EX CIRCULO ORTISQUANTITATIBUS96-97] 139
in formulis substitutis habebuntur hae tan-quibus superioribus aequationes,
totidem theoremata:quam
Ex his divisionis haec theorematanascunturporro ope
his deducuntur ista theorematadeniqueEx
18*TOMI PRIMI CAPUT 132–134140 VIII § [97-98DE TRANSCENDENTIBUS EX CIRCULO ORTISQUANTITATIBUS98–99] 141
Unde ob eritsignorum ambiguitatem
Evolutis binomiis hisce erit seriesergo per
i134. Sit arcus z =infinite erit sin.£ £ et cos.# sit nautemparvus; 1;
numerus infinite ut sit arcus nz finitaeinagnus, magnitudinis, puta ns>=v;
= =====ob sin. z z eritn
Dato arcu v harum serierum eius sinus et cosinus inveniriergo ope pote-
formularum ususrunt; arcum v essequarum quo admagis pateat, ponamusVUITOMI PRIMI CAPUT 134§ [99–100142
nunc valorseu 90° ut m ad n seu esse Quia ipsiusquadrantem = ~'Y'
n si is substituatur,constat, ubique prodibit1)
sin.A.– 90°n
i 916632679489661923132161,57079?
– 062462536557565639409750,64596
46167045120505549526262_|_0* 0,07969
JO? 06854639688100,004681754135318
3598218726 60904411847870,00016_|_ rr
21208534045853598843235–0,00000n11
21729219679268117800569+ • 0,00000n
“ 688035109811467 23200006
0,00000
935731106195700000060660,00000+
™1 0,0000000000000437706546731374
+ ^.0,0000000000000002571422892860
0,00000 00000000000012538995405n
55200000000000000051564+ ?£ • 0,00000
™ 0,00000 00000 00000 0000000181 240w27
m29
w29+ • 0,0000000000 000000000000000551