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DEAdemath´ematiques02-03,Alge`brecat´egorielle19de´cembre2002 Examen Dur´ee:3heures Lesdeuxprobl`emessontind´ependants.Ontiendraleplusgrandcomptedelar´edaction. Proble`meI
0 1.SoientC,egt´ieorucaneA,A,BetCdes objets deC,f, gune paire de morphismes 0 deAdansA, enfinq1:ABetq2:BCdes morphismes. 1.aMontrer que siq2s´poomaceeipomprihmseestliestun´eq2q1ge´ocnutuetasilardees la paire (f, g) alorsq2(reledriapasilauetase´ogeutcnq1f, q1g). 1.b.Montrer que siq2q1imorphisestun´epsrolaemq2e.smhirpmopie´nutse 1.c.iquese(b)e)dteda(iuer´Ddeq2q1peismtoun´esmerrphiilree´ugslaroq2est un ´epimorphismere´gulier.
2.On suppose queCposs`eednu´gnee´aretruPc,t-es-d`aeuirjbontePtel que pour toute 0 0 paire de morphismes distinctsf, g:AA, il existe un morphismeϕ:PAtel que f ϕ6=. Onsuppose de plus que pour tout ensembleE, le coproduittEPde la famille d’objets deCparee´xedniEala`econse´egtantPexiste dansC. 2.a.Soitf:ABun morphisme.Montrer que si HomC(P, f) : HomC(P, A)HomC(P, B) est injective alorsfest un monomorphisme. 2.b.Montrer que pour tout objetAdeCle morphisme canoniquepA:tHomC(P,A)PA estun´epimorphisme. (On rappelle quepAeihmsdenotselomprtiic`aonartltresetnaocalsopmPdnieparex´e ϕHomC(P, A) est le morphismeϕ.) 2.c.uetqdiOnruetare´ne´gelPts´rgelueisrpiuoretoutobjetAdeCle morphismepA estun´epimorphismer´egulier. Supposons quePtiosteestrlier´egufun morphismeABque si Hom. MontrerC(P, f) : HomC(P, A)HomC(P, B) est surjective alorsfpemirohpseut´nr.ieulegr´meis (Onpourrae´crirepB)..1)ces(ritileeutos´ecompeunecomm 2.d..a(2td)e2.e(quc)´DiudeederlefenotcueHrmoC(P,) :C → Eseletnsd´etec isomorphismes.
Probl`emeII
1.SoientC,uorie´tgeenacIessmhirpeuxloaededergmo´reiceatf´oseome1dt0stejbte d0,d1: 10 ets: 0auisxselsulp(1esidentimorphismed)1osmu´tde0ete I relationsd0s= id0=d1s. Onappelle 1-complexe deCeirogjetdunobat´eelacC desI-diagrammes deCnote. OnC1C0un tel objet et on note encored0, d1, sles morphismes deC1dansC0et deC0dansC1qui le constituent.