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D´enitions&ExepmelLsgeiaenunitsalilentatsmcerirtssutcuee´rleRsnentatiotricremaoTpeseedteysilztMaesgizydeesictrztilpeoTscolbrapT(TB)oTpeilztasKmAHILMLtairecHous
JMS, Limoges, 19/01/06
Univ´ersit´eLyon1&INRIASophiaAntipolis
tuuctrss
Matricesstructur´ees Matrices de Toeplitz par blocs Toeplitz.
Houssam KHALIL Bernard Mourrain &Michelle Schatzman
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snE&tioielLsexpm´enDssceuctrsmleriatilittnasiageunenicesdeTontrematrletaoienut´reeRsliepTodeesictrMaseigyzysteztilpeBT)tz(TpeilscoTbrolztapssuoHKmaHesicrustILALtrMa
D´enitions&Exemples
es´eurct
Legainenutilisantlesmatricesstructure´es Multipplication rapide R´esolutiondessyste`meslin´eaires
1
Relation entre matrices de Toeplitz et syzygies
2
4
3
Matrices de Toeplitz par blocs Toeplitz (TBT) Gen´eralisationducasscalaire ´ TBT et syzygies
itjT:(=2.aMi)j,edeHtricl:H=anke,i)j+ih(irtaM3.jndVadeceeVndmoerxElpmeM1seriatdeceepTotzli
2
Matrices truct ´ s urees Une matriceAde taillen×ntur´eeesstiditestruc: 1peneddeleel´dO(nntieals`)ccoealpaedecn2 coefficients. Cescoecientssontdistribu´eesdunemani`erequinous permet de travailler ”simplement” avec cette matrice.
es´eurctru:yhc1(=CdeciuaCej4i,trMaxj=(i)1rtcisetsHKLALIaMjHoussamxiyj)i,rtcisetsurtcrue´enutilisantlesmaxE&slpmeeLseniagD´nieontizparpliteToecesdtaireiMszygyezstitploeeTsdceriatmertnenoitaleRseT)tilpBT(zcolbeoTs
laRees´etrenontisecirtamrutcurtstsyzitzesMatygieirecmetaeolpdsTeeD´tiniinenutilisantlesno&sxEmelpseeLagT)TBitzpoeplsdeTriceti(zeolpcoTsralbHuossurctrust
Exemples 1Matrice de Toeplitz :T= (tij)i,j. 2Matrice de Hankel :H= (hi+j)i,j. 3Matrice de VandermondeV= (xij1)i,j 4Matrice de Cauchy :C= (xi1yj) i,j
Matricesstructure´es Une matriceAde taillen×nes:sicuut´reedttisert 1epd´ddenleeleO(naleclapaedeic`stneoc)n2 coefficients. 2eruqniuosnosstneibirtsidtusdeeu´`enimaneoecCesc permet de travailler ”simplement” avec cette matrice.
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Toeplitz,T= (tij)i,j tt0tt10......tn.+11 tn.1.......t.1.tt10
tsurtcrue´se
Vandermonde,V= (xij1)i,j 11xx21......xx12nn111.x.n. . .xnn.1
Hankel,H= (hi+j)i,j h0h1. . .hn1h1h2. . .. . . .. . .h2n3. hn1. . .h2n3h2n2
Cauchy,C= (xi1yj)i,j xxn1.11yy11......x1.1yn1 xnyn
amKHALILMatrices
essttricur´eructlisinetuseamnaltsdceriatitploeeTitaleRsemertnenoExs&plemLeesinga´Dinenoit´eOpecavruesaretdgdertnaacem´eplrM,Nent1sMieriattszeygyztilprapzdseceoTeplitz(TBblocsToe)T
Matricesstructure´es Asecpmisselser´eeuctuestrtdittairetm2xesiisliMetN telles que rg(rM,N(A)) =α(resp rg(ΔM,N(A)) =α), avecα petitinde´pendentden. ou
Structuredede´placement
seecessatritur´trucsuas.)oHILMLKmAHMgraA(N,nelnretotden.OeApl´eemacr}nadgdeelelM{N,,sappel,N(A))=αMr(greuqletαtiteep.LANA=MA)N(M,.αΔ2el×natliF,edFT,GNT=GAMA(A)=
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Matrices structurees ´ A2eamrtcisesmilpestseetidurtsurctes´eleiistxiMetN telles que rg(rM,N(A)) =α(resp rg(ΔM,N(A)) =α), avecα etitouind´ependentden. p
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Structureded´eplacement
Le petitαtel que rg(rM,N(A)) =α, s’appelle le{M,N}rang dede´placementdeA. On le noterargM,N(A).
avec Op´erateursetrangded´eplacement 1rM,N(A) =AMANT=GFT,G,Fde taillen×α. 2ΔM,N(A) =MAAN.
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