7 jours d'essai offerts
Cet ouvrage et des milliers d'autres sont disponibles en abonnement pour 8,99€/mois
DEUX COURBES,UNE SEULE TANGENTESoulever le problème d’une tangente commune à deux courbes, en un même point Objectif ou en deux points distincts. Dérivées. Fonction exponentielle. Fonctions trigonométriques. Outils À quelles conditions deux courbes possèdetelles une tangente commune ? A. Tangente commune à deux courbes en un point commun 1. Préliminaire Soitfetgdeux fonctions, ayant pour ensembles de définition respectifsDetD, et soitCetCf gf g → → leurs courbes représentatives dans le plan rapporté à un repère(O ;i;j). On supposef etgdérivables sur leur ensemble de définition. Démontrer queCetCadmettent une tangente commune en un point commun si et seulement si il f g (a)=g(a) existe un nombre réeladeDDqui vérifie le système { f g '(a)=g'(a) 2. Premierexemple. a. Déterminerle réelpque les courbes telP etH, représentations respectives des fonctions 22 f:x6x+p etg:x6, admettent une tangente commune en un point commun. Déterminer alors une équation de la tangenteTcommune. b. Vérifieren représentantP,HetTsur la calculatrice. 3. Deuxièmeexemple a. SoitFetGles courbes représentatives des fonctionsfetgdéfinies surRpar 1212(x)=x+1 etg(x)=x+1 cosx. Démontrer queFetGont même tangente en une ⎜ ⎟ 20 20 ⎝ ⎠ infinité de points communs dont on précisera les abscisses, puis tracerF etGla sur calculatrice pour des valeurs d’abscisses et d’ordonnées comprises entre20et20. b. Généralisationde l’exemple précédent. Soitf unefonction dérivable surR, ne s’annulant pas surR, etω unnombre réel non nul quelconque. On considère la fonctiongpar définieg(x)=f(x).cos(ωx). On noteF etG les courbes représentatives respectives defet deg. Démontrer queF etGla même tangente en une infinité de points communs dont on ont précisera les abscisses.
IV  Dérivabilité
Deux courbes, une seule tangente
1