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DEUX COURBES UNE SEULE TANGENTE

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DEUX COURBES, UNE SEULE TANGENTE Objectif Soulever le problème d'une tangente commune à deux courbes, en un même point ou en deux points distincts. Outils Dérivées. Fonction exponentielle. Fonctions trigonométriques. À quelles conditions deux courbes possède-t-elles une tangente commune ? A. Tangente commune à deux courbes en un point commun 1. Préliminaire Soit f et g deux fonctions, ayant pour ensembles de définition respectifs Df et Dg , et soit C f et C g leurs courbes représentatives dans le plan rapporté à un repère . On suppose (O; ; )? ?i j f et g dérivables sur leur ensemble de définition. Démontrer que C f et C g admettent une tangente commune en un point commun si et seulement si il existe un nombre réel a de Df ? Dg qui vérifie le système { ( ) ( )'( ) '( )==f a g af a g a 2. Premier exemple. a. Déterminer le réel p tel que les courbes P et H , représentations respectives des fonctions 2 2: ? +6 et f x x p g x: 6 x , admettent une tangente commune en un point commun. Déterminer alors une équation de la tangente T commune. b. Vérifier en représentant P , H et T sur la calculatrice.

  • tangente commune

  • π? ??

  • ?? ?π

  • équation ?

  • infinité de points communs

  • unique tangente


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DEUX COURBES,UNE SEULE TANGENTESoulever le problème d’une tangente commune à deux courbes, en un même point Objectif ou en deux points distincts. Dérivées. Fonction exponentielle. Fonctions trigonométriques. Outils À quelles conditions deux courbes possèdetelles une tangente commune ? A. Tangente commune à deux courbes en un point commun 1. Préliminaire Soitfetgdeux fonctions, ayant pour ensembles de définition respectifsDetD, et soitCetCf gf g → → leurs courbes représentatives dans le plan rapporté à un repère(O ;i;j). On supposef etgdérivables sur leur ensemble de définition. Démontrer queCetCadmettent une tangente commune en un point commun si et seulement si il f g (a)=g(a) existe un nombre réeladeDDqui vérifie le système { f g '(a)=g'(a) 2. Premierexemple. a. Déterminerle réelpque les courbes telP etH, représentations respectives des fonctions 22 f:x6x+p etg:x6, admettent une tangente commune en un point commun. Déterminer alors une équation de la tangenteTcommune. b. Vérifieren représentantP,HetTsur la calculatrice. 3. Deuxièmeexemple a. SoitFetGles courbes représentatives des fonctionsfetgdéfinies surRpar 1212(x)=x+1 etg(x)=x+1 cosx. Démontrer queFetGont même tangente en une ⎜ ⎟ 20 20 ⎝ ⎠ infinité de points communs dont on précisera les abscisses, puis tracerF etGla sur calculatrice pour des valeurs d’abscisses et d’ordonnées comprises entre20et20. b. Généralisationde l’exemple précédent. Soitf unefonction dérivable surR, ne s’annulant pas surR, etω unnombre réel non nul quelconque. On considère la fonctiongpar définieg(x)=f(x).cos(ωx). On noteF etG les courbes représentatives respectives defet deg. Démontrer queF etGla même tangente en une infinité de points communs dont on ont précisera les abscisses.
IV  Dérivabilité
Deux courbes, une seule tangente
1
Un pour Un
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