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Enroulements browniens et subordination dans les groupes de Lie
Nathanae¨lEnriquez 1 , Jacques Franchi 2 et Yves Le Jan 3 1 LaboratoiredeProbabilite´sdeParis6,4,placeJussieu,75252Pariscedex05. e-mail: enriquez@ccr.jussieu.fr 2 I.R.M.A.,Universit´eLouisPasteur,7,rueRen´eDescartes,67084Strasbourg. e-mail: franchi@math.u-strasbg.fr 3 Universite´ParisSud,Mathe´matiques,Baˆtiment425,91405Orsay. e-mail: yves.lejan@math.u-psud.fr Re´sum´e. Lobjetdecetravailestdefaireapparaıˆtrelelienentrelenroulement brownienetlope´rationdesubordination,etdemontrerquecelienpeuteˆtre´etendu a`desgroupesdeLienonabe´liens.
1 Introduction Ler´esultatdeSpitzer[17],surlenroulementdumouvementbrownienplan autourdelorigine,asuscite´demultiplestravaux(cf.parexemple[12,15,4]). Notreproposestdunepart,parlemploidunee´chelledetempsad´equate permettantdobtenirdesr´esultatsnonasymptotiques,defaireapparaıˆtre clairementlelienentrecetypedeth´eor`emeetlope´rationdesubordination, dautrepartdemontrerquilestsusceptibledeˆtree´tendua`desgroupesdeLie nonabe´liens.Danslesdeuxpremi`eressections,sontrespectivemente´tudi´ees lop´erationdesubordinationpourunmouvementbrowniendansungroupe de Lie, et son application au processus d’enroulement. Des exemples sont pre´sente´sdanslatroisi`emesection,notammentceluidelenroulementdans despointeshyperboliquescomplexes,quiconduita`unprocessusdeL´evysur le groupe d’Heisenberg.
2 Subordination d’un mouvement brownien sur un groupe de Lie Soit ( X t ) un mouvement brownien gauche sur un groupe de Lie G ,de´ni parle´quation X 0 = Id , ( d X t ) X t 1 = d W t ,
2Nathana¨elEnriquez,JacquesFranchi,YvesLeJan o`u( W t )estunmouvementbrowniensurlalge`bredeLie G ; de sorte que les accroissements`agauche X t j +1 X t j 1 , 0 6 t 0 < . . . < t n ,sontind´ependantset h ` omogenes. Soit ( ν t ) le semi-groupe de convolution sur G donnant la loi de ( X t ). Conside´ronsunsubordinateur( Λ t )sansd´erivedemesuredeLe´vy π Λ , inde´pendantde X . Le processus ( s, Δ Λ s ) est un processus de Poisson ponctuel sur R + × R + dintensite´d x π Λ (d y ). Posons F t := σ ( Λ s , s 6 t ) σ ( W s , s 6 Λ t ), et introduisons le processus ( Y t := X Λ t ), qui est ( F t )-adapte´. Introduisons une metrique sur G et notons d la distance sur G qui lui est ´ associe´e.Soit ρ > 0 tel que exp | B (0 ) soit injective. L’image de B (0 , ρ ) par l’exponentielle est une boule de G centr´eeenlidentit´eetderayon ρ . Nouspouvonsalorsexprimerleg´en´erateurde( Y t ) comme suit, ce qui pre´cisedansnotrecontextelaformuledeLe´vyKhintchinesurlegroupe G ´etabliedans[7](Theorem5.1):lamesuredeLe´vyduprocessus( Y t )est´egale `a R 0 ν s (d g ) π Λ (d s ). Proposition 1. Soit f une fonction de G dans R , de classe C 2 `asupport compact. Alors f ( Y. ) Z . Z G × R + f ( Y u g ) f ( Y u ) − h d f ( Y u ) , Y u exp 1 ( g ) i 1 { d (Id ,g ) } 0 ν s (d g ) π Λ (d s ) d u est une ( F t ) -martingale. De´monstration. Remarquons d’abord que f ( Y t ) f (Id) = R 0 Λ t d( f X ) u , et decouponscetteinte´gralesuivantlessautsde Λ detaillesup´erieure`a ε > 0. ´ Pour cela introduisons : T := le n ie`me temps de saut de Λ detaillesup´erieurea` ε . N := Sup { n N | T 6 t } . ( N ) est un processus de Poisson sur R + dintensit´e π ε (1),ou` π ε (d x ) := 1 { x > ε } π Λ (d x ). Nous avons f ( Y t ) f (Id) = A εt + B , avec A εt : Z [0 t ] \ S { n<Ntε } [ Λ Tnε Tεn ] d( f X ) u = et B := Xf ( Y T ) f ( Y T ) . ε n<N t Le processus ( A εt ) tend vers 0 dans L 1 . En effet la semi-martingale f X sed´ecomposeenunemartingale M f etunprocessus`avariationborne´e A f . f ayantsesd´iv´born´ees,d h M f , M f i t / d t et d A tf / d t sontborn´eespardes er ees constantes, et donc