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ExamendInt´egrationetAnalysedeFourier
Ecolenormalesupe´rieuredeLyon 11 Janvier 2005
PRINCIPE D’INCERTITUDE DE HEISENBERG
Lesujetestconstitue´decinqpartiesplusoumoinslie´es.Lespartieslesplus de´licatessontlandelapartieIIIetlapartieV.Lesnotesdecoursmanuscriteset imprim´eessontautorise´es.Ilnestpasn´ecessairedetraiteruneproportionimportantedusujetpourobtenirunetr`esbonnenote.
LeprincipedincertitudedeHeisenbergestundespiliersth´eoriquedelaphysiquequantique.Soninterpre´tationphysiqueestunproble`menontrivial,maissa d´emonstrationmath´ematique,unefoisaccept´eleformalismedebasedelam´ecanique quantique,neposegue`rededicult´es.Cettede´monstrationseraloccasiondaborderquelquespointstechniquesinte´ressantsdelatransforme´edeFourier.
n Onnoteralatransforme´edeFourierdunefonctionfsurRpar Z b 2iπxξ f(ξ) =f(x)e dx. n R Onpourrautilisersansd´emonstrationlesproprie´te´sprincipalesdecettetransforme´e:lesthe´ore`mesdePlancherel,Parseval,laformuledinversion,etlaction delatransform´eedeFouriersurlaconvolution(incluantline´galit´edeYoung).On n noterala convolution habituelle, surRouRselon le contexte. |α| Un multii ndiceα= (α1, . . . , αnaerotnne´o,odnnattn)e´α=α, 1 αn ∂x .. . ∂x 1n ou`|α|=α1+. . .+αn. n Pourx, yR, on notera|x|la norme euclidienne dex, etxyle produit scalaire dexpary. n Siftuneesnoitcnofnere´idsuleabtirR, on noteraf= (1f, . . . , ∂nf) son n n vecteurgradient(cestunefonctionde´niedeRdansR). n Lamesuredinte´grationsurRsera toujours la mesure de Lebesgue.
I.La classe de Schwartz nn On noteS(R) l’ensemble des fonctionsCdeRdansRtelles que pour tout multiindiceα, et pour toutNN, N sup|αf(x)|(1 +|x|)<+. n xR n En d’autres termes,S(Rctoneftdaitfes)iluge´rse`rtsnoittoutesl`eresdone´sese´drevi tendentversz´ero`alinniplusvitequenimportequellepuissanceinversedela norme.(Onparledefonctions`ade´croissancerapide,mˆemesicesfonctionsne sontpas,strictosensu,d´ecroissantes.) I.1stna:esacivsulerespseertnbail´ttepnueelonsquusioinclseltnosselleuQ. 1n2nn n L(R),L(R),L(R),S(R) ?
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n c I.2. Soitf∈ S(R),reontrd´emofmrrealceuoludeqursxpiemerif(ξ) en fonction b b def(ξ) etξ. Trouver une fonctiongtelle quef=gbre´ne´G.esnlemuorsfceerisal rempla¸cantparα,o`uαest un multiindice arbitraire.
b I.3pmilacittnerlried.Rmo´eon:fegrableimpliqiunet´fastnalE.unitilborn´ee b questionpr´ec´edente,montrerquesifslaroble,egraint´est|ξ|f(ξe)tse.´ernbo b N Montrer que si (1+|x|)fstseni´tgearlb,elaroαfruestborn´epo|α| ≤N. Pousser le raisonnement pour montrer que b n n f∈ S(R) =f∈ S(R). Yatile´quivalence?
b n n I.4. L’applicationf7f´e,dienedS(R) dansS(R? injec), estelle surjective tive ?bijective ?
II.Principe d’incertitude II.1se donne. Onf∈ S(R). Montrer que Z Z 2f=2xf(x)f(x)dx. R R Onpourracommencerpare´tablircetteidentit´eformellement,puislajustierrigoureusementenutilisantlespropri´et´esdere´gularite´etdede´croissancedef.
II.2ofettecresilare´enG´.imensionrmuleendn, comme suit : Z Z 2 n f=2 (xf(x))∙ ∇f(x)dx. n n R R II.3une constante. Expliciteran,neendad´epedeuqtnn, telle que Z ZZ 2 2 22 fan|x|f(x)dx|∇f(x)|dx n R n pour toute fonctionf∈ S(R).
II.4une constante. Expliciterbnpe´eed,nedeuqtnadnn, telle que Z ZZ b 2 2 22 2 fbn|x|f(x)dx|ξ| |f(ξ)|dx n nn R RR n pour toute fonctionf∈ S(R).
II.5.G´en´ecttie´nrelasiree´tilagenofseda`nsioctf`adsnrseualavC.
i2πφx II.6. Quese passetil si on remplacefpar une fonction de la formee f(+y) (φetyvecteursx´es)?
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n II.7su´encnoPot:anivfetuotrunoitcnocnul.oCle´era`f∈ S(R;C), et pour tous n n x0R,ξ0R, Z ZZ 2 22b 2 2 (1)|f| ≤bn|xx0| |f(x)|dx|ξξ0| |f(ξ)|dξ. n nn R RR Cetteine´galite´estcommune´mentappel´eeprincipe d’incertitude de Heisen 2 berg. SikfkLlpqieuuqleonnpe=1,elleimirvotaeuisfola`a|f|edi(aune`ee´itn 2 b n2 mesuredeprobabilite´)tre`sconcentre´eautourdunx0R, et|f|ee´rtnecnocse`rt n autour d’unξ0R. Danslasuiteduprobl`eme,nousallonsve´rierquelleseg´en´eralise`adesfonctions quinesontpasn´ecessairementdanslaclassedeSchwartz(Nota:Ilexistedes d´emonstrationspluscourtesquecellequenousallonsconside´rer.) III.Fonctions plateaux de type positif n Unefonction plateauest ici une fonction de classeCsurRadsn,`valauesr [0,ortcompa],`asupp1a`elage´benurus1ntde,ictntmeueiqouleBR(0eta`scri)pre l’avance. Elle est ditede type positifsisartaofsnptsotivi.erm´eedeFourieres Ilexisteplusieursme´thodespourconstruiredesfonctionsplateauxpr´esentantde bonnesproprie´t´es;cellequisuitadesavantagesdanscertainesconditions. 1 Pour touta >0, on noteχ(a) = (2a) 1[a,a]tacieciroitcdninlonaf)s´eemali(nor de l’intervalle [a, a]R. d\ III.1. Calculerχ(aiuedre´dnE.)χ(a)χ(a). III.2. Dessinerl’allure deχ(a),χ(a)χ(b),χ(a)χ(b)χ(c) (on pourra supposer pour simplifier queabc). Montrer que ces fonctions sont paires et positives. Quelleestleurr´egularit´e?Plusg´ene´ralement,combiendefoispeutondie´rentier continˆumentunmultiproduitdeconvolutionχ(a1). . .χ(ak) ? III.3e)aticel(itSoitseuQ(.´dsulpnoak)kNergented´ecroissuen´sreeiocvnetnaed nombres strictement positifs. Dessiner qualitativement l’allure des fonctionsχ(N)= χ(a1)χ(a2). . .χ(aN). Montrer queχ(N)edaCcuyha`etsolopieogurpoetun pre´ciser,etquelleconvergequandN→ ∞vers une limiteχ. III.4veua.uQnt´etliedegralχ? Montrer queχestCca.tnEt`eupasrtpompco d´eduirequeχb.re`eliesttr`esr´egu III.5Qu.(cile´dsulpnoitsentl´diaEnmoate)ocsntnaleremgee`´epredc´uctrontietne, construire une fonction plateauχrunale`a1suompenies´ittg,efdiendeyitteupq intervalle [A, A]ae´xiopr.ri n III.6. Construiremaintenant une fonction plateau de type positif dansR, identi n quement´egale`a1surunebouleBRiarrortnriudeea´eiopr(oriounp()0xχ,o`u χest une fonction plateau surR). IV.gu´eRnotisarila n Soitχune fonction plateau de type positif surR´tgela`eituqmene,enida1surla bouleB1(0), identiquement nulle endehors de la bouleB2(0) (On pourra admettre lexistencedecettefonctionsilonnapastrait´elasectionpre´c´edente.)
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