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Examendu12juin2006-Dur´ee2h-SujetA
Aucundocumentniinstrumentdecalculnestautorise´.
Exercice II (7 points) Lesr´eponsesauxquestionsquisuiventdoiventˆetrecompl`etementjustie´es. II1. SoientFetGdeux sousespaces d’un espaceE. L’implicationsuivante estelle vraie ? dim(F) + dim(G) = dim(E) =FG=E
2 Re´ponse.Non. PrendreF=Gune droite deR.   12 0   II2. LamatriceM1 2= 0estelle diagonalisable ? 0 01 Re´ponse.Non. N’ayantque 1 pour valeur propre, siMraitet´e,elleseanilaslbiadtaiog 1 semblablea`I3:`aitduonciuqeC.M=P .I3.P=I3. II3.Estilvraiquunematriceinversibler´eelleesttrigonalisable? R´eponse.Nusli,novuortedtomnˆarect´aciseruqiteerunematriceinvesrbielodtnelopyl   0 1 nestpasscinde´.Parexemple:. 1 0 Remarque.Cettematricerepre´sentedanslabasecanoniquelarotationreniepard´ r(e1) =e2,r(e2) =e1. Ils’agit d’une application bijective.SiMerttiate´alisigon,ellable 2 poss`ederaitunvecteurpropre.OraucunvecteurnonnuldeRperaaloratitnonestenvoy´rsur la droite qu’il dirige. II4. SoitMecarnˆompolyxedepmelecoctairnumeuqite´tcasireχM(X)est 3 X4X. La matriceMestelle inversible ?Diagonalisable ? R´eponse.XdiviseχM, donc 0 est valeur propre et doncMlicaeappasunntepitnorperese´en injective. Ona :χM(X) =X(X2)(XLes trois valeurs propres de+ 2).Msont distinctes, doncMest diagonalisable. 3 II5.Mˆemesquestionsquepr´ec´edemmentavecχM(X) =X+ 4X. Re´ponse.XdiviseχM, donc 0 est valeur propre et doncMerene´rpacitnouneapplisentepas injective. Ona :χM(X) =X(X2i)(X+ 2i). Lestrois valeurs propres deMsont distinctes, doncMest diagonalisable surC. EnrevancheMn’est pas diagonalisable surR, puisqu’en tant 3 quematricer´eelleSpec(M) ={0}et queMn’est pas la matrice nulle (sinonχM(X) =X). II6.Lesmatricescomplexessuivantessontellesdesmatricesquirepre´sententle 3 3 mˆemeendomorphismedeC(chacune sur une certaine base deC) ?    π π ei π1πsine    A=cos(ln(π)) 2ietB= 12icos(ln(π)) lnπ e e e π πi2e πi Re´ponse.Nayaaptnˆesmtrmee,acsdce.selbalbmessapntsoneesriatxmeu II7. Deuxmatrices2×2tearˆmmeoitnuqremegnatnanˆmteetd´mier,mcemeˆe sontelles semblables ?    1 11 0 R´eponse.Non, par exemple :et 0 10 1