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Fiche3danalyse:th´eor`emesdanalyseetleurd´emonstration
13mars2011
ITh´eor`emesportantsurlesfonctionscontinues
The´ore`me1(desvaleursinterme´diaires)Soitfurneuustnniunefoncruele´rsnoitava`iencoetleel´esd 2 intervalleI.Soit(a, b)Iaveca < betf(a)< f(b)(resp.f(a)f(b)). Pour touty[f(a), f(b)](resp. y[f(b), f(a)]), il existex[a, b]tel quey=f(x).
Autrement dit, la fonctionfprend toutes les valeurs entref(a) etf(bindre`etrnsioatdaL.ome´)euedecllve en cours. Ici on emploie la dichotomie. De´monstrationstouN.`oucesanolsartif(a)< f(b),le casf(a)f(b)se.guitanetrana`idtmeanolreae Pour´etablirlethe´ore`medesvaleursinterm´ediaires,nousallonsutiliserleproc´ede´dedichotomie.On construitparr´ecurrencedeuxsuites(an)net (bn)ncontenues dans [a, b:elpsorrpe]ataytnuivantesi´et´ess 1.a0=aetb0=b; 2. lessuites (an)net (bn)n;sont adjacentes 3.nN, f(an)yf(bn). Avantdeconstruirepre´cise´mentlesdeuxsuites,voyonscommentconclure. `rse.2l,seustiseda(pan)net (bn)nˆeemunrsventgeervnocimetemilx.De plusx[a, b],r`esdap..1 la fonctionfnutiuresanetontc´I,donc sur [a, b],elle est continue enx.s´equent,Parcon limf(an) =limf(bn) =f(x). n+n+cadrlendansmiteuoevnort3t,.mene:a`tnilalpnEassa f(x)yf(x). Dou`y=f(xroe`emse´ttebail.e´htelte)
Ilreste`aconstruirelessuites(an) et (bn:eliercngatiensusniniplsquemoinqilppadelreu)pr´arurec proce´d´ededichotomie!Commeindiqu´ea0=aetb0=b.Opusntepaeachaque´posequ`nde construction f(an)yf(bn). an+bn ` Ale´tape(n+ 1),neermid´etonc=f( ).enntt:edserugrpesese´xuaceD 2 an+bn sic > y,alors on posean+1=anetbn+1= ; 2 an+bn sicy,alors on posean= etbn+1=bn. 2 Les suites (an)net (bn)nilraPa..t3.es1´e(setiussel,sruelenta´erictoenssvtirnusii´iteorrpelpsibnean)n et (bn)nsont bien adjacentes. En effet : (an)nest croissante par construction; (bn)nsedtoiss´ecrparante bnan construction ;nN, anbnet limbnan= 0 carnN, bn+1an+1ciuqudno=a`tice 2 n+b0a0 bnan=npour toutnN. 2 2
Corollaire 1Soitfnoiteecteinse´deellrsr´aleun`avoitcnofenuelteinalrvesnuunurI.Alorsf(I),l’image directe deIparf, est un intervalle.
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