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G´en´eralit´essurlesespacesvectoriels
15fe´vrier2011
Cesnotesdecourssynth´etisentcequiapueˆtreabord´eencours.Ygurentdespointsquinontpasou neserontpasabord´esstrictosensu,enparticuliernombredede´monstrations.Ilestvivementconseille´deles lire,delescomprendreetdelesconnaˆıtre.Pourcela,ilfautrep´ererlespoints-cle´sdanschaqued´emonstration d ´ onnee. Dans toute la suite K d´esignelecorpsdesnombresre´els R ou celui des complexes C .
ID´efinition.Exemples
1.D´enitiondun K -espace vectoriel D´enition1 Un K -espace vectoriel E est un ensemble E non vide muni d’une addition + + : E × E E ( u, v ) 7→ u + v et d’une multiplication parles´el´ementsde K : K × E E ( λ, u ) 7→ λ u Le´el´ementsde E sontappele´s vecteurs etles´el´ementsde K des scalaires . s Ladditionetlamultiplicationpardesscalairesontlespropri´ete´ssuivantes. 1. ( E, +) est un groupe commutatif. Autrement dit : (a) commutativit´e ( u, v ) E 2 , u + v = v + u ; (b) associativit´e ( u, v, w ) E 3 , ( u + v ) + w = u + ( v + w ) ; (c) il existe un ´ele´mentneutre note´ 0 E etappel´evecteurnulquive´rie: u E, u + 0 E = 0 E + u = u ; (d)Toute´le´ment u de E poss`edeunsym´etriqueouoppose´note´ u : u E, v E : u + v = v + u = 0 E . 2. La multiplication parlesscalairesv´erie (a) u E, 1 u = u ; (b) ( α, β ) K 2 , u E, α ( β u ) = ( α β ) u ; (c) ( α, β ) K 2 , u E, ( α + β ) u = α u + β u ; (d) α K , ( u, v ) K 2 , α ( u + v ) = α u + α v
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