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Coniques.R´esume´
4 janvier 2010
ID´efinitionduneconiqueentermed´equationcart´esienne ect ( i , −→ j ) . Onseplacedanslerep`ereorthonorme´dir0 , Definition 1 Une conique du plan euclidien R 2 estunecourbedupland´equationcarte´siennedelaforme ´ a x 2 + 2 b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 , ou` a, b, c, d, e et f sontdesnombresre´elsavec ( a, b, c ) 6 = (0 , 0 , 0) . Lhypothe`se( a, b, c ) 6 = (0 , 0 , 0)estindispensableici:lecaso`u a, b et c sontnulsconduita`le´quationdune droite . De´nition2(Discriminant) Soit C uneconiqueduplaneuclidiende´quationcart´esienne a x 2 + 2 b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 . Le discrimant Δ de C estparde´nitionlenombrer´eel Δ = a c b 2 . D´enition3(Typeduneconique) Soit C uneconiqueduplaneuclidiend´equationcarte´sienne a x 2 + 2 b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 . On dit de C qu’elle est : 1. de type elliptique si a c b 2 > 0 ; 2. de type parabolique si a c b 2 = 0 ; 3. de type hyperbolique si a c b 2 < 0 .
II R´ ction d’u ` ´ ´ edu ne conique : a la recherche de son equation reduite
1. Changement de R.O.N. direct Proprie´t´e1 Soit C uneconiquede´quation a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 danslerepe`reorthonorme´direct R = ( O, −→ i , j ) . Danslerepe`re R 0 = ( O, i −→ 0 , j −→ 0 ) , la conique C a alors pour equation ´ a 0 x 0 2 + 2 b 0 x 0 y 0 + c 0 y 0 2 + d 0 x 0 + e 0 y 0 + f 0 = 0 , ` ou c a 0 = a +2 c + a cos(2 θ ) + b sin(2 θ ) 2 b 0 = b cos(2 θ ) ( a c )sin(22 θ ); a + c a c c 0 = 2 cos(2 θ ) b sin(2 θ ) 2 1