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L’Ens. Math. (2)53(2007), 153–178.
Remarques sur les valeurs moyennes de fonctions multiplicatives
Ge´raldTenenbaum
Abstract.self-contained approach, we show that a real valuedBy a multiplicative function whose square has a mean-value must itself have a mean value, and we provide a sufficient condition for the vanishing of the latter. This partially extends a theorem of Elliott.
1. Introduction Lavaleurmoyennedunefonctionarithm´etiquere´ellef:NRtseed´e,ni lorsqu’elle existe, comme la limite M(f) :=xlimx1f(n). nx
PourIR,α >0,kN,dpsrangnoe´isM(I) la classe des fonctions arithm´etiques multiplicatives `a valeurs dansI, parLα(I) la sous-classe deM(I) constitu´ee des fonctionsftelles que fα:= lixmsupx1nx|f(n)|α1<, et notonsRk(I) la sous-classe deM(I) comprenant les fonctionsftelles quefk poss`edeunevaleurmoyenne. Uncasparticulier,repr´esentatifducasg´ene´ral,duntre`s´el´egantr´esultat dElliott[5]peutˆetree´nonce´commesuit.Icietdanstoutelasuite,lalettrep d´esigneunnombrepremier. Th´eor`emeA(Elliott).On aR2(R+)R1(R+). De plus, sifR2(R+)et si la s´erie )12 (1·1)pf(pp
diverge, alorsM(f) = 0.
2000 AMS Subject Classification : 11N37. Nousincluonsicicertainescorrectionsparrapport`alaversionpublie´e.
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Lethe´or`emeprincipaldunr´ecenttravaildeMauclaire[13]´ourtoute enonce que, p fonctionfdeM(R+), si (a) toutes les fonctionsn→f(dn) (d1) appartiennent a`R2(R+), si l’on a
(b)pν2f(ppνν)2<, et si (c) la s´erie (1·1) diverge, alors il existe un sous-ensembleEdeNd1et´siened tel que la fonction1Ef2dte´oclueainfcet,esr´taulomrunneyluneE.elsovaleitde imme´diatementduTh´eor`emeA,mˆemeen´elargissantlhypoth`ese(a)auseulcas d= 1 et en supprimant la condition (b). En effet, sif0 etM(f) = 0, l’ensemble des entiersntels quef(n)> εest de densit´e nulle pour toutε >0. Elliottdonnedans[6](th.19.1)unenouvelled´emonstrationduTh´eore`meA. Les approches de [5] et [6] pr´esentent des diff´erences significatives mais s’appuient essentiellement toutes deux sur la caract´erisation donn´ee par Elliott dans [3] des fonctions deL2(Rp)´ssolevamouranednetue´irueereynnsepu(1)non nulle — un crite`redontlaconditionn´ecessairea´ete´retrouv´eeparuneautrem´ethodedansun travailsubse´quentdeDaboussietDelange[2].Unautre´ele´mentessentieldesdeux preuvesre´sidedanslobtentiondunepropri´ete´dere´gularite´localepourlafonction sommatoire def, soit (1·2)M(x;f) :=f(n) (x0). 1nx
Dans[5],ler´esultatestissudunlemmede[4]reposantsurunth´eore`medethe´orie probabilistedesnombresdˆua`Levin,TimofeevetTuljaganov[12].Dans[6],Elliott arecours,viaunprincipededualit´e,a`lare´solutiondune´equationfonctionnelle approch´ee — voir notamment les chapitres 6 et 10 de [6]. Enfin, dans tous les cas, laformedualedelin´egalit´edeTura´nKubiliusjoueunrˆoleessentiel. Nousnousproposonsicidedonneruneversionplsg´´eraleduThe´ore`meA, u en dans laquelle l’hypoth`ese de positivit´e pourfestno´e´encurpoitraˆler´hcaN.eeerto probablementeˆtreretrouv´ecommeconse´quencedesre´sultatsexpose´sdans[6].Nous noussommesprincipalementattach´eici`apr´esenterunede´monstrationsimpleet autonomeou`lexistencedunevaleurmoyennepourf2sepxettioldee´ecirmetent dans le calcul de la valeur moyenne def— ce qui a constitu´e notre motif initial decuriosite´. Commedanstouteslesapproches,lepointleplusdicileconsiste`ae´tablirla ` n´ecessite´delaconvergencedelas´erie(b).Acetten,nousmettonsen´evidence, paruneme´thodedirecteadapt´eede[9],unenouvellepropri´ete´der´egularite´locale pour les fonctionsx→M(x;f) lorsquefR2(R+luvaioatstneinmo:)e´leisecr´sp que celles de [4] ou [6], mais valable dans un domaine plus vaste. Ce r´esultat, dinte´rˆetpropre,faitlobjetduLemme2.1infra.
1. Cette notion est d´efinie en (2·1)infrae´roelht711.e`em].de[6irVo.