Cet ouvrage fait partie de la bibliothèque YouScribe
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le lire en ligne
En savoir plus

L'Ens Math

De
23 pages
L'Ens. Math. (2) 53 (2007), 153–178. Remarques sur les valeurs moyennes de fonctions multiplicatives?† Gerald Tenenbaum Abstract. By a self-contained approach, we show that a real valued multiplicative function whose square has a mean-value must itself have a mean value, and we provide a su?cient condition for the vanishing of the latter. This partially extends a theorem of Elliott. 1. Introduction La valeur moyenne d'une fonction arithmetique reelle f : N? ? R est definie, lorsqu'elle existe, comme la limite M(f) := lim x?∞ 1 x ∑ nx f(n). Pour I ? R, ? > 0, k ? N?, designons par M(I) la classe des fonctions arithmetiques multiplicatives a valeurs dans I, par L?(I) la sous-classe de M(I) constituee des fonctions f telles que ?f?? := lim sup x?∞ ( 1 x ∑ nx |f(n)|? )1/? < ∞, et notons Rk(I) la sous-classe de M(I) comprenant les fonctions f telles que fk possede une valeur moyenne. Un cas particulier, representatif du cas general, d'un tres elegant resultat d'Elliott [5] peut etre enonce comme suit.

  • motivation initiale d'elliott

  • application convenable de l'inegalite de holder

  • serie

  • theoreme

  • estimation e?ective

  • technique legere de hildebrand

  • recent travail de mauclaire


Voir plus Voir moins
L’Ens. Math. (2)53(2007), 153–178.
Remarques sur les valeurs moyennes de fonctions multiplicatives
Ge´raldTenenbaum
Abstract.self-contained approach, we show that a real valuedBy a multiplicative function whose square has a mean-value must itself have a mean value, and we provide a sufficient condition for the vanishing of the latter. This partially extends a theorem of Elliott.
1. Introduction Lavaleurmoyennedunefonctionarithm´etiquere´ellef:NRtseed´e,ni lorsqu’elle existe, comme la limite M(f) :=xlimx1f(n). nx
PourIR,α >0,kN,dpsrangnoe´isM(I) la classe des fonctions arithm´etiques multiplicatives `a valeurs dansI, parLα(I) la sous-classe deM(I) constitu´ee des fonctionsftelles que fα:= lixmsupx1nx|f(n)|α1<, et notonsRk(I) la sous-classe deM(I) comprenant les fonctionsftelles quefk poss`edeunevaleurmoyenne. Uncasparticulier,repr´esentatifducasg´ene´ral,duntre`s´el´egantr´esultat dElliott[5]peutˆetree´nonce´commesuit.Icietdanstoutelasuite,lalettrep d´esigneunnombrepremier. Th´eor`emeA(Elliott).On aR2(R+)R1(R+). De plus, sifR2(R+)et si la s´erie )12 (1·1)pf(pp
diverge, alorsM(f) = 0.
2000 AMS Subject Classification : 11N37. Nousincluonsicicertainescorrectionsparrapport`alaversionpublie´e.
2
Ge´raldTenenbaum
Lethe´or`emeprincipaldunr´ecenttravaildeMauclaire[13]´ourtoute enonce que, p fonctionfdeM(R+), si (a) toutes les fonctionsn→f(dn) (d1) appartiennent a`R2(R+), si l’on a
(b)pν2f(ppνν)2<, et si (c) la s´erie (1·1) diverge, alors il existe un sous-ensembleEdeNd1et´siened tel que la fonction1Ef2dte´oclueainfcet,esr´taulomrunneyluneE.elsovaleitde imme´diatementduTh´eor`emeA,mˆemeen´elargissantlhypoth`ese(a)auseulcas d= 1 et en supprimant la condition (b). En effet, sif0 etM(f) = 0, l’ensemble des entiersntels quef(n)> εest de densit´e nulle pour toutε >0. Elliottdonnedans[6](th.19.1)unenouvelled´emonstrationduTh´eore`meA. Les approches de [5] et [6] pr´esentent des diff´erences significatives mais s’appuient essentiellement toutes deux sur la caract´erisation donn´ee par Elliott dans [3] des fonctions deL2(Rp)´ssolevamouranednetue´irueereynnsepu(1)non nulle — un crite`redontlaconditionn´ecessairea´ete´retrouv´eeparuneautrem´ethodedansun travailsubse´quentdeDaboussietDelange[2].Unautre´ele´mentessentieldesdeux preuvesre´sidedanslobtentiondunepropri´ete´dere´gularite´localepourlafonction sommatoire def, soit (1·2)M(x;f) :=f(n) (x0). 1nx
Dans[5],ler´esultatestissudunlemmede[4]reposantsurunth´eore`medethe´orie probabilistedesnombresdˆua`Levin,TimofeevetTuljaganov[12].Dans[6],Elliott arecours,viaunprincipededualit´e,a`lare´solutiondune´equationfonctionnelle approch´ee — voir notamment les chapitres 6 et 10 de [6]. Enfin, dans tous les cas, laformedualedelin´egalit´edeTura´nKubiliusjoueunrˆoleessentiel. Nousnousproposonsicidedonneruneversionplsg´´eraleduThe´ore`meA, u en dans laquelle l’hypoth`ese de positivit´e pourfestno´e´encurpoitraˆler´hcaN.eeerto probablementeˆtreretrouv´ecommeconse´quencedesre´sultatsexpose´sdans[6].Nous noussommesprincipalementattach´eici`apr´esenterunede´monstrationsimpleet autonomeou`lexistencedunevaleurmoyennepourf2sepxettioldee´ecirmetent dans le calcul de la valeur moyenne def— ce qui a constitu´e notre motif initial decuriosite´. Commedanstouteslesapproches,lepointleplusdicileconsiste`ae´tablirla ` n´ecessite´delaconvergencedelas´erie(b).Acetten,nousmettonsen´evidence, paruneme´thodedirecteadapt´eede[9],unenouvellepropri´ete´der´egularite´locale pour les fonctionsx→M(x;f) lorsquefR2(R+luvaioatstneinmo:)e´leisecr´sp que celles de [4] ou [6], mais valable dans un domaine plus vaste. Ce r´esultat, dinte´rˆetpropre,faitlobjetduLemme2.1infra.
1. Cette notion est d´efinie en (2·1)infrae´roelht711.e`em].de[6irVo.
Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin