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Lessentieldesde´veloppementslimit´es
9f´evrier2011
IDe´finitionded´eveloppementlimite´Conditionsuffisantedexistence.
1.Cequilestbondeconnaıˆtresurles « petits o » Dansnotrecontexte,lesfonctionssonte´tudie´esauvoisinagedunpoint x 0 (tre`ssouvent x 0 = 0, mais pas toujours) en les comparant aux fonctions puissances ( x x 0 ) k , k N . Ilestbondavoirtoujoursentˆetele comportement de telles fonctions puissances au voisinage de x 0 (cf figure) Ilfaute´galementavoira`lespritlespropri´et´essuivantesconcernantlamanipulationdes « petits o » de fonctions puissances. A toute fin utile, rappelons que f d´enieauvoisinagede x 0 estne´gligeabledevant ( x x k ( x x 0 ) k et on note f ( x ) = x o x 0 0 ) , si f se´critauvoisinagede x 0 sous la forme : f ( x ) = ( x x 0 ) k ε ( x ) , ou` estde´nieauvoisinagede x 0 etve´rielim ε ( x ) = 0 . x x 0 Ainsi f ( x ) = o (1) si et seulement si lim f ( x ) = 0 . x x 0 x x 0
Proprie´te´1 Soit f de´nieauvoisinagede x 0 R . On suppose x x 0 ( x 0 ) k , f ( x ) = o x pour un certain entier k N . Alors 1. si 0 ` < k, alors ( x x 0 ) k = o ( x x 0 ) ` . x x 0 ( x x 0 ) k . 2. λ R , λ f ( x ) = x o x 0 3. ` N , ( x x 0 ) ` f ( x ) = o ( x x 0 ) k + ` . x x 0 Ainsi, devant une expression de la forme ( x x 0 ) `x o x 0 ( x x 0 ) k , onsempresseradele´criresousla forme o ( x x 0 ) k + ` . Dautresproprie´t´essonttoutesaussiimportantes.Lasuivanteestdemploifr´equent x x 0 dans les calculs :
Propri´ete´2 Soient f de´nieauvoisinagedeet´iant y 0 ver f ( y ) = o (( y y 0 ) k ) avec k N y y 0 g de´nieauvoisinagede x 0 etv´eriant lim g ( x ) = y 0 . x x 0 Alors ( f g )( x ) = o (( g ( x ) y 0 ) k ) x x 0
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