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La
"conjecture"
de
Kashiwara-Vergne
François Rouvière
Nice, 12 avril 2012
      Y XadXadY loge e=X+Y1e A(X;Y)e1 B(X;Y)   1 adXadYadZ tr (adX@XA+ adY@YB) = tr + 1 adXadYadZ 2e1 e1 e1
Lisomorphisme de Duo
Pour motiver ces étranges équations de Kashiwara-Vergne, commençons par un bref rappel sur lisomorphisme de Duo. Soitgune algèbre de Lie (réelle et de dimension nie). On notead :X7!adXsareprésentation adjointe, dénie paradX(Y) = [X; Y]pourX; Y2g. Cest un morphisme de Lie degdansEnd(g), muni du crochet déduit de sa structure 0 0 0 dalgèbre associative :ad[X; X] = adXadXadXadX(identité de Jacobi). Cette même identité dit aussi que, pour toutX2g,adXest unedérivationdeg:adX([Y; Z]) = [adX(Y); Z] + [X;adY(Z)]. On peut létendre en une dérivation de lalgèbre symétrique g S(g)(selon le relation de Leibniz), doù la sous-algèbreS(g)des éléments invariants (i.e. annulés paradXpour toutX2g). Par ailleursadXsétend en une dérivation de lalgèbre enveloppanteU(g), selonadX(A) =XAAXpour toutA2U(g), doù la sous-algèbre g U(g)des éléments annulés par lesadX, qui sidentie au centre deU(g). P 1 Lasymétrisation:S(g)!U(g)dénie par(X1  X X n) =X(1)  (n) n! pour tousX1; :::; Xn2g(produits dansS(g)au premier membre, dansU(g)au second, et somme sur le groupe symétrique denéléments) est un isomorphisme despaces vectoriels. Elle commute auxadX, et sa restriction aux invariants donne un isomorphisme despaces g g vectoriels deS(g)surU(g). Mais ce nest pas en général un isomorphisme dalgèbres (bien que ces deux dernières soient commutatives). On peut cependant, en modiant la g g symétrisation, obtenir un isomorphisme dalgèbres:S(g)!U(g)(isomorphisme de Duo). La première construction depar Duo (1971), purement algébrique, utilisait de nombreux outils de la théorie des représentations des algèbres de Lie. En 1977 il parvient à la relier à lanalyse de la façon suivante (voir lexposé de synthèse [5]). SoitGun groupe de Lie (connexe et simplement connexe) dalgèbre de Lieg. Lapplica-tion exponentielleexp :g!Gest un di¤éomorphisme dun voisinage de0sur un voisinage de lélément neutre. Sa di¤érentielle enX2get son déterminant jacobien sont   adXadX 1e1e DXexp =DeLexpX,j(X) = det(1) adXadX
Lgdésigne la translation à gauchex7!gxdansG; cela peut sobtenir en isolant les   X Y termes de degré un enYdans la formule de Campbell-Hausdor¤ pourloge e. Lalgèbre symétriqueS(g)sidentie canoniquement à lalgèbre des polynômes sur les-pace dualgdeg, ou encore à lalgèbre des opérateurs di¤érentiels à coe¢ cients constants
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