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La multiplication par la méthode géométrique

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La multiplication par la méthode géométrique A.F. Benmakhlouf Département d’Optique et Mécanique de Précision, Faculté des Sciences de l‘Ingénieur, Université Ferhat ABBAS Sétif, 19000, Algérie E-mail : a_f.2011@yahoo.fr Résumé La multiplication n’est qu’une addition. Dans cette étude, nous avons utilisé une autre méthode qui donne le même résultat de multiplication, cette méthode nous l’avons appelé « la multiplication par la méthode géométrique ». Son principe est simple, il se base sur les points d’intersection des droites qui représentent en quelques sortes les nombres de multiplication. Par cette méthode, nous avons arrivé à faire des multiplications de faibles nombres aux grands nombres, nous avons aussi déterminé si un nombre représente un carré ou non. Le plus intéressant dans cette étude c’est d’ouvrir l’esprit de l’étudiant, le professeur « le lecteur » à manipuler ces propres idées Mots clés : multiplication, sommation, droites, nœuds. 1. Introduction Une équation de multiplication peut être remplacée par une addition : Soit x = 4 x 2 = 8 x = 4+4 = 8 x = 2+2+2+2 = 8 Dans cette étude nous allons remplacer les nombres par des droites, le résultat final de la multiplication sera la somme des points d’intersection « nœuds », cela se fait par grade ou étage. Pour plus de détail on va définir au premier lieu les nombres par la méthode géométrique. 2.
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La multiplication par la méthode géométrique
A.F. Benmakhlouf Département d’Optique et Mécanique de Précision, Faculté des Sciences de l‘Ingénieur, Université Ferhat ABBAS Sétif, 19000, Algérie Email : a_f.2011@yahoo.fr Résumé La multiplication n’est qu’une addition. Dans cette étude, nous avons utilisé une autre méthode qui donne le même résultat de multiplication, cette méthode nous l’avons appelé «la multiplication par la méthode géométrique». Son principe est simple, il se base sur les points d’intersection des droites qui représentent en quelques sortes les nombres de multiplication. Par cette méthode, nous avons arrivé à faire des multiplications de faibles nombres aux grands nombres, nous avons aussi déterminé si un nombre représente un carré ou non. Le plus intéressant dans cette étude c’est d’ouvrir l’esprit de l’étudiant, le professeur « le lecteur » à manipuler ces propres idées Mots clés : multiplication, sommation, droites, nœuds. 1.Introduction Une équation de multiplication peut être remplacée par une addition : Soit x= 4 x 2= 8  x= 4+4= 8  x= 2+2+2+2= 8 Dans cette étude nous allons remplacer les nombres par des droites, le résultat final de la multiplication sera la somme des points d’intersection «nœuds »,cela se fait par grade ou étage. Pour plus de détail on va définir au premier lieu les nombres par la méthode géométrique. 2.Définition des nombres Comme nous l’avons dis précédemment, les nombres ne sont que des droites. nombre 01 23 45 67 89 re résentationéométri ue fig. 1 : représentation géométrique des nombresOn remarque que le nombre 1 se représente par une seul droite, 6 se représente par 6 droites et ainsi de suite. Le zéro « 0 » est représenté comme dans la figure 1, ce qui veut dire, en cas d’intersection entre un zéro et un notre numéro différent de zéro, le résultat final ne donne aucune intersection «zéro nœud ». exemple 1 x 0 = 0
1
Dans cet exemple il est clair qu’il n y a pas de point d’intersection « nœud » doncle résultat final est égale à zéro « 0 ». 3.Représentation des nombre࢞ ≥ ૚૙Soitݔ ≥10ݔ ∈ ℕ.On représente ce nombre par deux méthodes : horizontale ou verticale. Une représentation graphique peut clarifier ces deux méthodes le mieux possible, avec un exemple aussi bien facile et bien compréhensible. On veut représenter par la méthode géométrique les nombres: 1220 «horizontalement »et 132 « verticalement ».
représentation horizontale
3 représentation verticale 2 Fig.2 : Représentation géométrique verticale et horizontale des nombres naturels On voit que la représentation se fait d’en bas vers le haut ou bien de droite vers la gauche, en commençant par la plus petite unité vers la plus grande. 4.La multiplication: Elle se base sur la somme des points d’intersections entre les droites qui représentent les nombres à multiplier. Soit par exemple le produit :ݔ= 1× 2 = 2. Son équivalent géométrique sera le suivant :
x =
= 2e nomre epo ntsntersect onnœu s =
Autres exemples :
3 x 3 =
10 x 3 =
1,2 x 2,2
= 9le nombre de points d'intersection "nœuds" = 9
le nombre de points d'intersection "nœuds" d'en bas = 0,le = 30 nombre de points d'intersection "nœuds"de haut = 3
= 2,64 cettereprésentation demande un peut d'ésprit et d'intelligence
2
5.Intérêt de la méthode Cette méthode peut être utilisée comme méthode d’éducation pour les écoles primaires, car la plupart de nos enfants peuvent manipuler l’addition et trouvent une difficulté avec la multiplication. D’une autre part, cette méthode est utilisable pour faciliter la multiplication de grands nombres « un exemple sera donné par la suite » Elle est utilisable pour la détermination des carrés des nombres naturels, ainsi elle peut juger si un nombre naturel représente un nombre carré ou non.
On est sûr que le lecteur «étudiant, professeur », va utiliser cette méthode au moins une seule fois.
Exemples plus pratiques :
a.Multiplication de grands nombres
Calcul de 2213 x 3143
4
3En comptant les nœuds pour chaque droite, on trouve: 7 6 5 4 3 2 1 1 2 1 1 6 9 5 5 4 5 9 2 1
ainsi 2213x3143 =6955459
 A vous de jouer, calculez 122 x 235, 20 x 14, puis confirmez le résultat par la calculatrice ?
b.le carré des nombres
2 Calcul de 33
n comptantes nœus pour caque rote, on trouve: 1 1 1 0 8 9
ainsi 33x33 = 1089 2 2 2  A vous de jouer, calculez 122 , 20 , 14 , puis confirmez le résultat par la calculatrice ? c.rependre à la question si un nombre est un carré ou nonSoit x = 121, on connaît que c’est un carré, peut on le justifier par la méthode géométrique? La repense est oui, seulement on suit les étapes suivantes : on représente au premier lieu les nœuds de la faible valeur de x, elle égale à 1, donc un seul nœud.
3
On passe à la valeur suivante, dans notre cas elle égale à 2, il faut réaliser des intersections pour avoir deux nœuds. Cela conduit à: On comptant le nombre de nœuds, on trouve 2, on a terminé cette deuxième étape. On remarque qu’on a déjà marqué un nœud pour la troisième étape, pour x=121, la valeur de la troisième étape est égale à 1 = un nœud. Le résultat final: on a conclu que 121 est un carré, sa racine égale à 11 Un autre exemple Soit x = 144, on connaît que c’est un carré, on suit les mêmes étapes pour le justifier, Etape 1 Quatre nœuds  Unseul nœud, il faut a outer une autre droite Remarque: il faut ajouter une droite horizontale et une autre droite verticale, puisque on cherche un nombre carré. Etape 2 Quatre nœuds,le résultat est 4 Etape 3 Un nœud, le résultat 1 Résultat final x =144 Etape 4 Par comparaison, nous avons la même valeur de x = 144, le résultat est justifier.
4
Maintenant, on va donner un nombre au hasard, et on veut rependre à la question: Estiil un nombre carré ou non ? Soit x = 126598, on suit toujours les mêmes étapes : 9 1 4 Conclusion : x = 126598 et tout nombre de forme x =………8 n’est jamais un carré. Soit x = 13239 Etape 1 9 1 4 Etape 2 On voit que, quelque sois le nombre de droites 6 ajoutées, le résultat est pair de la forme 6k. Conclusion : x = 13239 et tout nombre de la forme x =……39 n’est jamais un carré. 2 Remarque: le carré des nombres naturels sera le siège d’une autre étude de la fonction n A vous de jouer, x = 13459, x = 456, 458796. 6.Conclusions est perspectives: Cette étude entre dans le cadre de développement des méthodes de calcul éducatif et de l’intelligence, nous voulons par cette étude d’ouvrir l’esprit, non seulement des étudiants primaires, secondaires…mais aussi une méthode pour les professeurs. Nous somme convaincus qu’il y a d’autres méthodes (cas exceptionnelles) pour le calcul «l’addition, la soustraction, la division, la multiplication ». Les nombres sons représentés par des droites, ces derniers se coupent en faisant la multiplication, et le résultat final revient aux nombre de nœuds d’intersections « cela ce fait par grade ou étage » Par la méthode de multiplication géométrique, nous pouvons faire la multiplication non seulement de petits nombres, mais de grands nombres.
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Elle est valable pour la détermination des carrés des nombres, ainsi le jugement si un nombre est un carré ou non. Inconvénients La représentation géométrique demande un peut d’espace, puis les grands nombres : 6,7, 8 et 9 rendent cette méthode plus difficile. La détermination, si un nombre est un carré ou nom demande un niveau plus élevé d’intelligence. Dans la plupart des cas, elle est plus longue que la méthode standard de multiplication. Cette méthode est limitée. Remarque* Les deux premiers points sont posés comme inconvénients, ce qui perçoit le lecteur aussi. À mon avis, si je cherche à améliorer mon intelligence, et je me casse la tête pour résoudre un problème très difficile, un autre problème difficile devient pour mois très facile «résoudre un problème très difficile rend un autre problème facile comme un jeu ». Perspectives: On demande au lecteur d’essayer cette méthode de calcul, de tirer les remarques, de donner ces interprétations et suggestions. On demande aussi de nous partager les idées, pour le calcul rapide des opérations « +, , x, / »
6
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