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Le polynomeˆ de Jones des entrelacs rubans
Michael Eisermann
Institut Fourier, UJF Grenoble
18 mars 2008
Michael.Eisermann@ujf-grenoble.fr
www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eisermPlan de l’expose´
1 Invariants de nœuds et d’entrelacs
Le polynomeˆ d’Alexander
Le polynomeˆ de Jones
Interpretation´ topologique ?
2 Le probleme` de Fox
Entrelacs bordants [slice links] rubans [ribbon links]
Le probleme` « slice) ribbon»
ˆ3 Le polynome de Jones des entrelacs rubans
Diagrammes rubans
La nullite´ du polynomeˆ de Jones
Le deter´ minant du polynomeˆ de Jones
4 Invariants de type fini de surfaces
Deux notions des invariants de type fini
L’exemple du polynomeˆ de Jones
5 Questions ouvertesInvariants classiques (des` 1900, environ)
groupe fondamental, polynomeˆ d’Alexander, forme de Seifert, signature, . . .
` `Avantages : ils s’appliquent bien a des problemes de topologie.
´ ` ´ ´Inconvenients : (K) est tres fort mais en general incalculable,1
( K) est bien calculable mais souvent trop faible.
Invariants quantiques (des` 1984)
polynomeˆ de Jones, def´ ormations quantiques, invariants de type fini, . . .
Avantages : bien calculables, tres` puissants, ev´ entuellement complets.
Problemes` : comment interpret´ er´ ses invariants en termes topologiques ?
Comment les appliquer pour resoudre´ des problemes` de topologie ?
Interactions ? C’est une question vaste et tres` productive !
Aujourd’hui : le polynomeˆ de Jones des entrelacs rubans.
Motivation et contexte
Precur´ seurs (avant 1900)
electromagn´ etisme´ (Gauss), topologie (Listing), theor´ ie atomique (Kelvin),
classification empiriques des petits nœuds (Kirkman, Little, Tait)` `Avantages : ils s’appliquent bien a des problemes de topologie.
´ ` ´ ´Inconvenients : (K) est tres fort mais en general incalculable,1
( K) est bien calculable mais souvent trop faible.
Invariants quantiques (des` 1984)
polynomeˆ de Jones, def´ ormations quantiques, invariants de type fini, . . .
Avantages : bien calculables, tres` puissants, ev´ entuellement complets.
Problemes` : comment interpret´ er´ ses invariants en termes topologiques ?
Comment les appliquer pour resoudre´ des problemes` de topologie ?
Interactions ? C’est une question vaste et tres` productive !
Aujourd’hui : le polynomeˆ de Jones des entrelacs rubans.
Motivation et contexte
Precur´ seurs (avant 1900)
electromagn´ etisme´ (Gauss), topologie (Listing), theor´ ie atomique (Kelvin),
classification empiriques des petits nœuds (Kirkman, Little, Tait)
Invariants classiques (des` 1900, environ)
groupe fondamental, polynomeˆ d’Alexander, forme de Seifert, signature, . . .´ ` ´ ´Inconvenients : (K) est tres fort mais en general incalculable,1
( K) est bien calculable mais souvent trop faible.
Invariants quantiques (des` 1984)
polynomeˆ de Jones, def´ ormations quantiques, invariants de type fini, . . .
Avantages : bien calculables, tres` puissants, ev´ entuellement complets.
Problemes` : comment interpret´ er´ ses invariants en termes topologiques ?
Comment les appliquer pour resoudre´ des problemes` de topologie ?
Interactions ? C’est une question vaste et tres` productive !
Aujourd’hui : le polynomeˆ de Jones des entrelacs rubans.
Motivation et contexte
Precur´ seurs (avant 1900)
electromagn´ etisme´ (Gauss), topologie (Listing), theor´ ie atomique (Kelvin),
classification empiriques des petits nœuds (Kirkman, Little, Tait)
Invariants classiques (des` 1900, environ)
groupe fondamental, polynomeˆ d’Alexander, forme de Seifert, signature, . . .
Avantages : ils s’appliquent bien a` des problemes` de topologie.Invariants quantiques (des` 1984)
polynomeˆ de Jones, def´ ormations quantiques, invariants de type fini, . . .
Avantages : bien calculables, tres` puissants, ev´ entuellement complets.
Problemes` : comment interpret´ er´ ses invariants en termes topologiques ?
Comment les appliquer pour resoudre´ des problemes` de topologie ?
Interactions ? C’est une question vaste et tres` productive !
Aujourd’hui : le polynomeˆ de Jones des entrelacs rubans.
Motivation et contexte
Precur´ seurs (avant 1900)
electromagn´ etisme´ (Gauss), topologie (Listing), theor´ ie atomique (Kelvin),
classification empiriques des petits nœuds (Kirkman, Little, Tait)
Invariants classiques (des` 1900, environ)
groupe fondamental, polynomeˆ d’Alexander, forme de Seifert, signature, . . .
Avantages : ils s’appliquent bien a` des problemes` de topologie.
´ ` ´ ´Inconvenients : (K) est tres fort mais en general incalculable,1
( K) est bien calculable mais souvent trop faible.Avantages : bien calculables, tres` puissants, ev´ entuellement complets.
Problemes` : comment interpret´ er´ ses invariants en termes topologiques ?
Comment les appliquer pour resoudre´ des problemes` de topologie ?
Interactions ? C’est une question vaste et tres` productive !
Aujourd’hui : le polynomeˆ de Jones des entrelacs rubans.
Motivation et contexte
Precur´ seurs (avant 1900)
electromagn´ etisme´ (Gauss), topologie (Listing), theor´ ie atomique (Kelvin),
classification empiriques des petits nœuds (Kirkman, Little, Tait)
Invariants classiques (des` 1900, environ)
groupe fondamental, polynomeˆ d’Alexander, forme de Seifert, signature, . . .
Avantages : ils s’appliquent bien a` des problemes` de topologie.
´ ` ´ ´Inconvenients : (K) est tres fort mais en general incalculable,1
( K) est bien calculable mais souvent trop faible.
Invariants quantiques (des` 1984)
polynomeˆ de Jones, def´ ormations quantiques, invariants de type fini, . . .Problemes` : comment interpret´ er´ ses invariants en termes topologiques ?
Comment les appliquer pour resoudre´ des problemes` de topologie ?
Interactions ? C’est une question vaste et tres` productive !
Aujourd’hui : le polynomeˆ de Jones des entrelacs rubans.
Motivation et contexte
Precur´ seurs (avant 1900)
electromagn´ etisme´ (Gauss), topologie (Listing), theor´ ie atomique (Kelvin),
classification empiriques des petits nœuds (Kirkman, Little, Tait)
Invariants classiques (des` 1900, environ)
groupe fondamental, polynomeˆ d’Alexander, forme de Seifert, signature, . . .
Avantages : ils s’appliquent bien a` des problemes` de topologie.
´ ` ´ ´Inconvenients : (K) est tres fort mais en general incalculable,1
( K) est bien calculable mais souvent trop faible.
Invariants quantiques (des` 1984)
polynomeˆ de Jones, def´ ormations quantiques, invariants de type fini, . . .
Avantages : bien calculables, tres` puissants, ev´ entuellement complets.Interactions ? C’est une question vaste et tres` productive !
Aujourd’hui : le polynomeˆ de Jones des entrelacs rubans.
Motivation et contexte
Precur´ seurs (avant 1900)
electromagn´ etisme´ (Gauss), topologie (Listing), theor´ ie atomique (Kelvin),
classification empiriques des petits nœuds (Kirkman, Little, Tait)
Invariants classiques (des` 1900, environ)
groupe fondamental, polynomeˆ d’Alexander, forme de Seifert, signature, . . .
Avantages : ils s’appliquent bien a` des problemes` de topologie.
´ ` ´ ´Inconvenients : (K) est tres fort mais en general incalculable,1
( K) est bien calculable mais souvent trop faible.
Invariants quantiques (des` 1984)
polynomeˆ de Jones, def´ ormations quantiques, invariants de type fini, . . .
Avantages : bien calculables, tres` puissants, ev´ entuellement complets.
Problemes` : comment interpret´ er´ ses invariants en termes topologiques ?
Comment les appliquer pour resoudre´ des problemes` de topologie ?Motivation et contexte
Precur´ seurs (avant 1900)
electromagn´ etisme´ (Gauss), topologie (Listing), theor´ ie atomique (Kelvin),
classification empiriques des petits nœuds (Kirkman, Little, Tait)
Invariants classiques (des` 1900, environ)
groupe fondamental, polynomeˆ d’Alexander, forme de Seifert, signature, . . .
Avantages : ils s’appliquent bien a` des problemes` de topologie.
´ ` ´ ´Inconvenients : (K) est tres fort mais en general incalculable,1
( K) est bien calculable mais souvent trop faible.
Invariants quantiques (des` 1984)
polynomeˆ de Jones, def´ ormations quantiques, invariants de type fini, . . .
Avantages : bien calculables, tres` puissants, ev´ entuellement complets.
Problemes` : comment interpret´ er´ ses invariants en termes topologiques ?
Comment les appliquer pour resoudre´ des problemes` de topologie ?
Interactions ? C’est une question vaste et tres` productive !
Aujourd’hui : le polynomeˆ de Jones des entrelacs rubans.

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